机械优化设计方法 约束最优化方法

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1、机械优化设计方法约束最优化方法参赛选手：*****6-1概述约束最优化问题是：求n维设计变量X=[x1,x2,…,xn]T，受约束于gu(X)≥0(u=1,2,…,m)，hv(X)=0(v=1,2,…,p

2、、随机试验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。另一类是间接方法，即将约束最优化问题，通过变换转成为无约束最优化问题．然后采用无约束最优化方法得出最优解．属于间接方法的有消元法、拉格朗日乘子法、惩罚函数法等。约束最优化问题算法收效速率的判断比无约束最优化问题困难，约束最优化问题的研究和进展情况远不如无约束优化问题。6-2约束随机方向搜索法一、基本原理基本原理可用图6-1所示二维最优化问题进行说明。在约束可行区域D内，任意选择一个初始点X(0)，以给定的初始步长α=α0沿着随机方向S(1)取得探索点X=X(0)+αS(1)若该点同时符合下降性(即f(X)

3、0))和可行性(即X∈D)要求，则表示X点探索成功。并以它作为新的起始点，即X→X(0)，继续按上面的迭代公式在S(1)方向上获取新的探索成功点。重复上述步骤，迭代点可沿S(1)方向前进，直至到达某搜索点不能同时符合下降性和可行性要求时停止。此时废弃该搜索点并退回到前一个搜索成功点作为S(1)方向搜索中的最终成功点，记作X(1)。此后，将X(1)点置为新的始点X(1)→X(0)，再产生另一随机方向S(2)，以步长α重复以上过程，得到沿S(2)方向的最终成功点X(2)。经若干循环，点列{X(k)(k=1,2,…)}必最后逼近约束最优点X*。若在初始点X(0)或某个换向转

4、折点处(如图中的X(1)点)，沿某随机方向的探索点目标函数值增大(如图中的A点、C点)或者越出可行域(如图中的B点、D点),则应相应弃去该随机方向,重新产生另一随机方向进行探索。探索成功继续前进,探索失败再重新产生随机方向。当在某个转折点处(如图中的X(2)点)，沿Nmax(预先限定在某个转折点处产生随机方向所允许的最大数目)个随机方向以步长α进行探索均失败，可以反映以此点为中心、α为半径的圆周上各点均难同时符合下降性和可行性条件。此时可将步长α缩半后继续试探，直到α已缩减到预定精度ε以下(即α≤ε)，且沿Nmax个随机方向都探索失败时，则以最后一个成功点(如图中的X

5、(3)点)作为达到预定精度要求的约束最优点，结束迭代。Nmax一般可在50~500范围内选取，对目标函数性态不好的应取较大的值，以提高解题成功率。二、初始点的选择随机方向搜索法的初始点X(0)必须是一个可行点，即必须满足全部约束条件gu(X)≥0(u=1,2,…,m)通常有两种方法：(一)人为给定：即在设计的可行区域D内人为地确定一个可行的初始点。(二)随机选定：即利用电子计算机产生的伪随机数来选择一个可行的初始点X(0)。此时需要送入设计变量估计的上限和下限，以图6-2所示二维情况为例，X=[x1,x2]T，a1≤x1≤b1，a2≤x2≤b2。在[0，1]区间内产生

6、两个随机数r1和r2，0

7、[x1(0),x2(0),…,xn(0)]T虽能满足设计变量的边界条件，但不一定能满足所有约束条件(如点)。因此这样产生的初始点还须经过可行性条件的检验，如能满足，才可作为一个可行的初始点。否则，应重新随机选初始点，直到满足所有的约束条件。三、随机搜索方向的产生以图6-3所示二维情况说明随机向量的产生。设y1，y2是在区间(-1，+1)上的两个随机数。将它们分别作为x1，x2坐标轴上的分量所构成的向量即为相应的二维随机向量。其单位向量如y1′,y2′区间(-1，+1)上的另外两个随机数，同样相应构成另一个二维随机向量，其单位向量为S′。这些二维随机单