概率论及数理统计大数定律与中心极限定

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1、第五章极限定理初步概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理下面我们先介绍大数定律大数定律第一节大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,其中方差有共同的上界，

2、则对任给>0,作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.定理（独立同分布下的大数定律）切比雪夫设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给>0,使得则称{Xn}依概率收敛于X.可记为依概率收敛a如意思是:当时,Xn落在内的概率越来越大.而意思是:,当证明:由切比雪夫不等式这里故切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则与其数学期望偏差很小的概率接近于1.随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当n充分大时，差不多不再是切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述下面给出的贝努里大数定律，是上述定理的一种特例.贝努里设Sn是n重贝努

3、里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，引入i=1,2,…,n则是事件A发生的频率于是有下面的定理：设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε>0，定理5.1.1（贝努里大数定律）或贝努里贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.任给ε>0，贝努利大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n几乎等于事件A的概率p。因此可用事件发生的频率作为相应概率的估计。蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得π的近似值.针长L线距a下面给出的独立

4、同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，定理5.1.2（辛钦大数定律）辛钦辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.辛钦大数定律表明：当n无限增大时，n个独立同分布的随机变量算术平均值几乎等于常数因此可用算术平均值作为μ的估计例如要估计某地区的平均亩产量，只要收割某些有代表性的地块，例如n块.计算其平均亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现

5、.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性第二节中心极限定理中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题

6、.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限.可见n越大越接近正态分布。例:20个0-1分布的和的分布密度X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)几个(0,1)上均匀分布的和的分布密度0123xfgh在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.我们只讨论几种简单情形.下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.定理5.2.1（独立同

7、分布下的中心极限定理）它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…，则~N(0,1)例1根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为分析:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=1