概率论与数理统计_第5章_大数定律与中心极限定理

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1、第五章大数定律与中心极限定理全书目录全书目录第一章随机事件与概率第五章大数定律与中心极限定理§1随机事件§1切贝谢夫不等式§2概率§2大数定律§3概率的计算§4概率的加法法则第六章样本分布§5条件概率与乘法规则§1总体、个体与样本§6全概率公式与贝叶斯公式§2样本分布函数§7独立试验概型§3样本分布的数字特征第二章随机变量及其分布§4几个常用统计量的分布§1随机变量的概念第七章参数估计§2随机变量的分布§1估计量的优劣标准§3二元随机变量§2点估计§4随机变量函数的分布§3区间估计第三章随机变量的数字特征第八章假设检验§1数学期望§2数学

2、期望的性质§1假设检验的原理§3条件期望§2一个正态总体的假设检验§4方差、协方差§3两个正态总体的假设检验第四章几种重要的分布第九章回归分析§1重要的离散型分布§1一元线性回归方程§2重要的连续型分布§2相关性检验§3可线性化的回归方程目录§1切贝谢夫不等式§2大数定律§1切贝谢夫不等式研究随机变量的离差与方差的关系。设随机变量有期望值ED与方差。对任给>0,有DP(

3、E

4、)2DP(

5、E

6、)12称为切贝谢夫不等式证：若是离散型随机变量。P(x)pkkP(

7、E

8、)P(x)

9、k

10、xkE

11、2(xE)k2pk

12、xE

13、k2(xE)k2pkkD2若是连续型随机变量。的概率密度为(x)P(

14、E

15、)P(E)P(E)E(x)dx(x)dxE22E(xE)(xE)(x)dx(x)dx22E2(xE)(x)dx2D2例1设是掷一颗骰子所出现的点数，若给定＝1，2，实际计算P(

16、-E

17、),并验证切贝谢夫不等式成立。1解：P(k),

18、k1,2,...,66735ED2127271P1P22323D3521时，2123D3512时，2483例2设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关事件彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。解：令表示夜晚同时开着的灯的数目。B(10000,0.7)7199kk10000kP(68007200)C100000.70.3k6801用切贝谢夫不等式估计：Enp＝7000Dnpq＝

19、2100P(68007200)P(

20、7000

21、200)210010.952200例3若,...,是个相互独立，同分布的随机变量，n1nn1Eii,D8,(i1,2,...,n)。对于＝i,写出所ni1满足的切贝谢夫不等式，并估计P(

22、-

23、<4)nn11解：EEini1ni1nn118DD2i28ni1ni1nD8故P1212n1将＝代入得4P(

24、

25、4)12n§2大数定律1例1掷一枚硬币，出现正面的概率为21掷

26、的次数很多时，出现正面的频率接近2这种现象为频率的稳定性。例2测量一个长度a，一次测量，结果未必等于a测量多次，结果的计算平均值未必等于a测量次数很大时，算术平均值接近于a这种现象为平均结果的稳定性大量随机现象中的平均结果与每一个别随机现象无关，几乎不再随机。定义1a若存在常数，使对于任何>0，有limP(

27、a

28、<)=1nn称随机变量序列依概率收敛于an例3设为两点分布n111P1P(n1)nnn1对任给>0,n充分大时，必有n+1>且n1limP(

29、0

30、)limP

31、nnnn1lim1=1nn即n依概率收敛于0定理1(切贝谢夫定理设),,...,是相互独立的随机12变量序列，各有数学期望E,E,...及方差D,D,...1212并且对于所有i=1,2,...DM,M与无关，则任给i0inn11limPiiE1nnni1i1n1此定理表明n个独立随机变量的平均值ini1n1依概率收敛于其数学期望Eini1也称为切贝谢夫大数定律。它有如下重要的推论。定理2(贝努里大数定律在独立试验序列中，)当试

32、验次数无限增加时，事件A的频率依nn概率收敛于A发生的概率P(A)=p即对任给>0limPp1nn大量重复试验中，事件发生的频率接近于概率。若P(A)很小，则A发生