[]概率论与数理统计第四章

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1、课件制作：应用数学系概率统计课程组概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数

2、据的波动是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写随机变量的平均取值——数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容4.1数学期望4.1.1数学期望的定义4.1.2随机变量函数的数学期望4.1.3数学期望的性质4.1.4数学期望的简单应用引例测量50个圆柱形零件直径（见下表）

3、则这50个零件的平均直径为尺寸（cm）89101112数量（个）87151010504.1.1数学期望的定义换一个角度看，从这50个零件中任取一个零件，它的尺寸为随机变量X,则X的概率分布为XP89101112则这50个零件的平均直径为称之为这5个数字的加权平均，数学期望的概念源于此.设离散型随机变量X的分布律为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望定义4.1.1记为否则，称随机变量X的数学期望不存在．设连续型随机变量X的概率密度为若积分绝对收敛,则称此积分的值为随机变量X的数学期望数学

4、期望简称期望，又称均值数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均.记为注:否则，称随机变量X的数学期望不存在．解:例4.1.1例4.1.2解:解:例4.1.3例4.1.4X~N(,2),求E(X).解常见随机变量的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)例4.1.5解:注意：不是所有的随机变量都有数学期望4.1.2随机变量函数的数学期望如果级数收敛，则有定理设X是随机变量，Y=g(X)是X的

5、连续函数，则有(1)若为离散型变量，其概率函数为(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),如果积分收敛则有解因为分布律为所以其中求例4.1.6设随机变量，例4.1.7解:求解例4.1.8设二维随机变量的密度函数为求X13P3/41/4Y0123P1/83/83/81/8X103/83/8031/8001/8Y0123解:例4.1.94.1.3数学期望的性质推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互独立反例1注X13P3/

6、41/4Y0123P1/83/83/81/8X103/83/8031/8001/8Y0123解:例4.1.9引入随机变量则有例4.1.10解:故（次）1.离散型2.连续型3.Y=g(X)4.Z=g(X,Y)小结性质：4.1.4数学期望的简单应用例4.1.11解:例4.1.12市场上对某种产品每年的需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元,问应该生产这种商品多少吨,才能使平均利润最大？解:设每年生产y吨的利润为Y,2000

7、3500时，EY最大，EY=8250万元例4.1.13为普查某种疾病,n个人需验血,可采用两种方法验血：(1)分别化验每个人的血,共需化验n次；(2)将k个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性,则此k个人的血只需化验一次；若为阳性,则对k个人的血逐个化验，找出有病者,这时k个人的血需化验k+1次.设某地区化验呈阳性的概率为p，且每个人是否为阳性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化验次数验血方案的选择为简单计，设n是k的倍数，设共分成n/k组第i组需化验的次数为XiXiP1k+1解:若则EX

8、