概率论与数理统计 第四章

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1、第四章随机变量的数字特征引例:1分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.2由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，

2、但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写随机变量的平均取值——数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容34.1数学期望4.1.1数学期望的性质4.1.2随机变量函数的数学期望4.1.3数学期望的简单应用4设离散型随机变量X的分布律为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望定义4.1.1记为5设连续型随机变量X的概率密度为若积分绝对收敛,则称此积分的值为随机变量X的数学期望数学期

3、望简称期望，又称均值数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均记为注:64.1.1数学期望的性质7证明：仅就证性质（4）8解:例4.1.19例4.1.2解:解:例4.1.310例4.1.4解:11例4.1.5解:12常见随机变量的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()13分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)14引入随机变量则有例4.1.6解:15故（次）16例4.1.717解:1819例4.1.8设X服从参数为p(0

4、(4)在没有独立假设的条件下一般不成立204.1.2随机变量函数的数学期望定理2122例4.1.9解:23X13P3/41/4Y0123P1/83/83/81/8X103/83/8031/8001/8Y0123解:例4.1.10244.1.3数学期望的简单应用例4.1.11市场上对某种产品每年的需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元,问应该生产这种商品多少吨,才能使平均利润最大？解:设每年生产y吨的利润为Y,2000

5、6例4.1.12某保险公司规定,如果在1年内顾客的投保事件A发生,该公司就赔偿顾客a(元),若1年内事件A发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的10%,问该公司应该要求顾客交多少保险费?解:设顾客应交的保险费为x(元),公司收益为Y(元),这里x是普通变量,Y的取值与事件A是否发生有关由题意有27所以由题意所以且已知28例4.1.13为普查某种疾病,n个人需验血,可采用两种方法验血：(1)分别化验每个人的血,共需化验n次；(2)将k个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性,则此k个人的血只需化验一次；若为阳性,则对k个人的血逐个化验，找

6、出有病者,这时k个人的血需化验k+1次.设某地区化验呈阳性的概率为p，且每个人是否为阳性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化验次数29为简单计，设n是k的倍数，设共分成n/k组第i组需化验的次数为XiXiP1k+1解:30若则EX

7、位:小时)如下:A:2000150010005001000B:15001500100010001000试比较这两批灯泡质量的好坏计算得:平均寿命分别为:A:1200B:1200观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小所以,B产品质量较好41(X-EX)2——随机变量X的取值偏离平均值的情况,是X的函数,也是随机变量E(X-EX)2——随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数注:4.3.1方差的定义42若X为离散型随机变量，概率分布为若X为连续型随机变量，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：注:434.3.2方差的性质44设

8、X~P(),求方差DX例4.3.1解:45设X~B(n,p)，求方差DX仿照上例求DX引入随机变量相互独立，故例4.3.2解法1:解法2:46设X~U(a,b)，