高中数学第一讲坐标系单元整合学案新人教a版选修4-4

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1、第一讲坐标系单元整合知识网络专题探究专题一　平面直角坐标系中的伸缩变换函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω＞0，且ω≠1)的图象，可以看作把f(x)图象上所有点的横坐标缩短或伸长为原来的倍(纵坐标不变)而得到的．函数y＝Af(x)(x∈R)(其中A＞0，且A≠1)的图象，可以看作把f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．图形变换中的伸缩变换我们可记作变换公式在使用时，需分清新旧坐标．【应用】在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：(1)曲线x2－y2－2x

2、＝0变成曲线x′2－16y′2－4x′＝0；(2)曲线x2＋y2＝4变成曲线＋＝1.解：(1)设变换为则x′2－16y′2－4x′＝0可化为λ2x2－16μ2y2－4λx＝0，即x2－y2－x＝0.∵x2－y2－2x＝0，∴∴∴所求变换为(2)设变换为3则有x2＋y2＝1.又＋＝1，∴∴∴所求变换为专题二　极坐标的应用在极坐标系中，有关点到直线的距离，圆与直线的位置关系的判断等问题，一般先将极坐标(方程)转化为直角坐标(方程)．再求解．【应用】求点M到直线ρcos＝2上的点的距离的最小值．提示：可以先化为直角坐标再求解．解：点M的直角

3、坐标为(2,2)，∵ρcos＝2，∴ρ＝2.∴ρcosθ＋ρsinθ＝2.∴x＋y＝2，即x＋y－4＝0.∴d＝＝2，即点M到直线ρcos＝2上的点的距离的最小值为2.专题三　求轨迹的极坐标方程求轨迹方程的方法——直接法、定义法、相关点代入法等，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标，ρ，θ所满足的关系式，再化简求解．【应用1】从原点O引直线交直线2x＋4y－1＝0于点M，P为OM上一点，已知

4、OP

5、

6、OM

7、＝1.求点P的轨迹的极坐标方程．提示：本题中，由于P，M，O三点共线，因此∠POx＝∠MOx，可建立极坐标系，求其轨

8、迹方程．解：以O为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为2ρcosθ＋4ρsinθ－1＝0.设M(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则2ρ0cosθ0＋4ρ0sinθ0－1＝0.①由知3代入①得，2cosθ＋4sinθ－1＝0，∴ρ＝2cosθ＋4sinθ.点评(1)当所求的动点的轨迹与已知点及原点共线时，可用建立极坐标系的方法求其轨迹方程，因为此时动点与已知点有相同的极角．(2)本题中求轨迹的方法称为代入法．【应用2】已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝.在OP的延长线上取点Q，使

9、PQ

10、＝

11、PA

12、.当点P

13、在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．解：设点Q，P的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.在△POA中，

14、OP

15、＝ρ1＝·sin，

16、PA

17、＝.又

18、OQ

19、＝

20、OP

21、＋

22、PQ

23、＝

24、OP

25、＋

26、PA

27、，化简可得ρ＝2acos.故点Q的轨迹的极坐标方程为ρ＝2acos.点评求曲线的极坐标方程，一般方法是构造三角形，利用直角三角形的边角关系或余弦定理列出关系式．3