2018年高考数学一轮复习专题8.7立体几何中的向量方法（讲）

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1、第07节立体几何中的向量方法【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测立体几何中的向量方法(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2015•浙江文18；理17；2016•浙江理17;1.以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.2.利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.3.备考重点：(1)掌握空间向量的坐标运算；(2)掌握角与距离的计算方法.【知识清单】1.利用空间向

2、量证明平行问题1.直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2.用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.③设直线l的方向向量为v，平

3、面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.对点练习：【选自2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN//平面BDE.2.利用空间向量证明垂直问题1.用向量证明空间中的垂直关系①设直

4、线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2.共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．对点练习：【河南省信阳市期末】已知梯形如下图所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平

5、面平面，得到如图所示的几何体.已知当点满足时，平面平面，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C则,，设平面的法向量为，则由得，取，平面的法向量为，则由得，取，因为平面平面，所以，解得.故选C.3.异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.对点练习：【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．

6、C．D．【答案】C【解析】如图所示，补成四棱柱,4.直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝

7、cosθ

8、＝.对点练习：【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题解析：MH是MQ在平面PBC上的射影，

9、所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．设CD=1．在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在Rt△MQH中，QH=，MQ=，所以sin∠QMH=，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．5.二面角1．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．对点练习：【2017江苏，22】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平

10、面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,.（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）