2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数ⅰ2.4二次函数与幂函数学案理

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1、§2.4　二次函数与幂函数考纲展示►　1.了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．考点1　幂函数的图象与性质五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR____________值域R______R____________奇偶性______________________________单调性_______

2、_______________________公共点______答案：{x

3、x≥0}　{x

4、x≠0}　{y

5、y≥0}　{y

6、y≥0}　{y

7、y≠0}　奇　偶　奇　非奇非偶　奇增　(－∞，0)减，(0，＋∞)增　增　增　(－∞，0)和(0，＋∞)减　(1,1)[教材习题改编]已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则函数f(x)＝________.答案：x解析：设f(x)＝xα，则＝2α，所以α＝，故函数f(x)＝x.-17-幂函数概念的误区：系数为1；指数为常数．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm－

8、3，则m为________．答案：2或－1解析：若函数为幂函数，则m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.[典题1]　(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)A　　　　　B　　C　　　　　D[答案]　C[解析]　令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x.(2)[2017·安徽江南七校联考]已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)A．－3B．1C．2D．1或2[答案

9、]　B[解析]　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3.当n＝1时，函数f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x-17-)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.(3)1.1，0.9，1的大小关系为________．[答案]　0.9＜1＜1.1[解析]　把1看作1，幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜

10、1.1，∴0.9＜1＜1.1，即0.9＜1＜1.1.(4)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．[答案]　(0,1)[解析]　作出函数y＝f(x)的图象如图．则当0＜k＜1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根．[点石成金]　1.幂函数y＝xα的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1)α的正负：当α>0时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；当α<0时，图象不过点(0,0)，经过点(1,

11、1)，在第一象限的部分“下降”；(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α>1时曲线下凹；当0<α<1时曲线上凸，当α<0时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．考点2　求二次函数的解析式-17-二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝____________；(2)顶点式：f(x)＝____________；(3)零点式：f(x)＝_________

12、___.答案：(1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(2)a(x－m)2＋n(a≠0)　(3)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)二次函数对称轴的判断方法：中值法；结论法．(1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于直线________对称．(2)“二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立”的充要条件是“函数y＝f(x)的图象关于直线________对称”(a为常数)．答案：(1)x＝　(2)x＝a解

13、析：(1)作出二次函数y＝f(x)的图象(图略)，由图可知，当f(x1)＝f(x2)时，点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))关于直线x＝对称．由x1，x2的任意性，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．(2)由(1)可知，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数).[典题2]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解]　解法一(利用一般式)：设f