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1、01、数列的概念与简单表示法一、知识点1.数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝)的特殊函数f(n).数列的通项公式也就是相应函数的解析式。数列的一般形式为ai,a2,…,an…,简记为｛aj,其中an是数列｛an｝的第n项.2.数列的通项公式一个数列｛aj的第n项an与序号n之间的函数关系，如果可用一个公式an=f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.3.求数列的通项公式的其它方法(1)公式法：等差数列与等比数列采用
2、首项与公差(公比)确定的方法.(2)观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明.(3)递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.4.数列与数集的区别(1)数列有序，数集无序。(2)数列中有重复的数，数集中没有。5.数列与函数的关系(1)用函数观点看数列数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数f(n),当它的自变量n从1开始依次取正整数时，对应的一列
3、函数值f(1)，f(2),f(3),……(2)数列的图象表示：图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可以是有限的。6.数列的分类(1)根据数列的项数：有穷数列项数有限的数列；无穷数列项数无限的数列(2)根据数列的每一项随序号变化的情况：递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列7.在数列｛aj中,前n项和Sn与通项an的关系为:，n>2二、练习1•已知么=-n2+25/7(Aie7V+),则数列的最大项是。答案：第12项或13项.2、已知=—H—则在数列｛义｝的最大项为(答：±);n/7-+156253、已知数列｛
4、义｝中，alt=n2+Anf且｛人｝是递增数列，求实数/I的取值范围答：2>-34、(江苏运河屮学12年5月高一月考题)若数列」的通项“n=2000(-)贝I撤列的前项的乘积最大。答案：10。提示：若％7=2000（丄）"<1,则1^11，（注意：2*°=1024）,所以数列的前10项的乘积最大5.已知数列对任意的；?，6/eN*满足切=6/"+%，且《2=—6，那么“丨0=-30解：由已知=a2+a2=-12，as=a4+6r4=—24,al0=as+a2=-306、已知数列｛人｝满足：“4/,_3=1，％“N*，则
5、6r2009=:a2（n4=.解：依题意，得“2009=“4x503_3=1，«2014=^2x1007=^1007=^4x252-1=0-•••应填1,0.02、数列通项公式的若干求法求通项公式是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。现举数例。一、观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的数列观察分析每一项与其对应的序号有相同的关系，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式；3153例1、数列rrir’7练习一1.已知数列的一个通
6、项公式是H+23/7+22961_32?64写出此数列的一个通项公式.解：观察数列前若干项可得通项公式为〜=(-iv2。_32"2、已知数列解：二、公式法75131，2，丁，丁，3^-2325(2)因为a‘写出这个数列的一个通项公式人；(2)根据么判断数列沁J的增减性.=(32)-(3-—)=——>0所以数列｛人｝是递增数列n+1nnn+1(1)已知数列的前n项和求通项时，通常用公式人(^=1)Sn-Sn-(n-2)用此公式时要注意结论有两种可能一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即&和3。合为一个表达式
7、。(2)利用等差、等比数列的通项公式例2、已知数列｛aj的前n和S,,满足S,,=2M+1-1,求此数列的通项公式。=3(«=1)n一^2"(/?>2)Cln=(an-人-!)+(“《+"•+(G3—6Z?)+(“a｝)+a｝(2x3"—'+1)+(2x3/,_2+1)+…+(2x32+1)+(2x3!+1)+32(3"-1+3"-2+…+32+3!)+(/7-l)+323(1-n+(,-1)+31-33"-3+72-1+3=3"+h-1解：由已知条件=2n+1-l当n=l时屮=3，当。2时〜=2"+1-2"=2"所以仏
8、二6n-2n>2练习二1、若数列｛〜｝的前H项和为，且乂=3h2+Z7+1,则数列的通项公式人2、.己知数列的前n项和=n2,若第at项么=17,贝U序号/73、已知正项数列｛an｝,•其前n项和s„满足ioSn=an2+5an+6且aba3,a15成等比数列，求数列｛aj的通项an解：•••10Sn=an2+5
