01、(教师)数列的概念与简单表示法

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1、01.数列的概念与简单表示法一、知识点1.数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝)的特殊函数f(n).数列的通项公式也就是相应函数的解析式。数列的一般形式为ai,a?,…,an…，简记为｛a„｝,其中a*是数列｛a«J的第n项.2.数列的通项公式一个数列｛乳｝的第n项a.与序号n之间的函数关系，如果可用一个公式an=f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.3.求数列的通项公式的其它方法(1)公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比

2、)确定的方法.⑵观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明.(3)递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.4.数列与数集的区别(1)数列有序，数集无序。(2)数列中有重复的数，数集中没有。5.数列与函数的关系(1)用函数观点看数列数列可以看作是一个定义域为正整数集N*的函数f(n),当它的自变量n从1开始依次取正整数时，对应的一列函数值f(1),f(2),f(3)

3、,……(2)数列的图象表示：图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可以是有限的。6.数列的分类(1)根据数列的项数：有穷数列项数有限的数列；无穷数列项数无限的数列(2)根据数列的每一项随序号变化的情况：递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列,[S.,n=17.在数列仏｝中，前n项和S*与通项a*的关系为：a=[Sn-Sn_^n>2二、练习1.已知色=-n2+25〃(斤gN+),则数列｛。”｝的最大项是。答案：第12项或13项.3、4、已知°=——(nwN、,则在数列｝的最大项为”才+156已知数列｛%｝中,an=n2+An,且｛

4、%｝是递增数列,求实数兄的取值范围an=2000(-)2(江苏运河中学12年5月高一月考题)若数列｛an｝的通项(答:丄)；25答：2〉一3则数列｛化｝的前项的乘积最大。答案：10o提示：若4?=2000(-)25.已知数列｛%｝对任意的〃，qeN*满足ap+(j=ap+伽，且a2=-6,那么al()解：由已知印=a2+a2=T2，=a4+a4=_24,a=as+a2=_306、已知数列｛an｝满足：a4n_3=1,仏_]=0,a2n=an,ngN*,则a2009=解：依题意>倚°2009=^4x503-3=1?。2014=^2x10

5、07=°1007=^4x252-1=°*"VI,则心11,(注意:2性1024),所以数列｛an｝的前20项的乘积最大-30^2014=•••应填1,0.02.数列通项公式的若干求法求通项公式是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。现举数例。-一、观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的数列观察分析每一项与其对应的序号有相同的关系,寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式；3153例］、数列亍，亍，打-，亍,••…的一个通项公式是丄丄5练习一1.已

6、知数列才孑〃+2)3n+2132961^4写出此数列的一个通项公式。解：观察数列前若干项可得通项公式为〜1)"'72"7513，亍，◎，〒，•••写出这个数列的一个通项公式an;(2)根据an判断数列｛an｝的增减性.解：(1儿”=切二Z(2)因为°讪一化=(3一丄)一(3-勻=?-丄>()所以数列｛色｝是递增数列n/?+1nnn+12、已知数列1，2二.公式法(1)已知数列的前n项和求通项时，通常用公式碍=<用此公式时要注意结论有两种论一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即幼和尙合为一个表达式。(2)利用等差、等比数列的通

7、项公式例2、已知数列｛aj的前n和S”满足Sn=2n+i-,求此数列的通项公式。(«=1)(«>2)n=1nA2=2竺亠+(一1)+31-33〃一3+兄一1+3=3"+〃一1解：由已知条件Sn=2n+1-1当〃=1时山=3,当心2时an=Sn-Sn_｝=2n+1-T=2n所以；练习二1、若数列！仏」的前"项和为S“，且5„=3h24-/7+1,则数列的通项公式a..二.a..=<（丿6n-22、.己知数列仏｝的前农项和S“=,r,若第斤项色=17，则序号〃=.93、己知正项数列｛%｝,其前n项和S“满足IOS】】二务2+5务+6且％,如

8、恥成等比数列，求数列｛aj的通项為解：TlOSn二a』+5a“+6,①/.10ai=ai2+5ai+6,解Z得a】=2或ai二3・又10S（1-i=ar-i2+5an-i+6（n^2）,②由①