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1、.曲线积分与曲面积分一、内容提要1．曲线积分的基本概念与性质(1)对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分），物理意义曲线质量性质1线性性性质2可加性性质3(2)对坐标的曲线积分（又称第二类曲线积分）物理意义变力沿曲线所作的功为．性质1方向性,性质2可加性（3）两类曲线积分之间的关系其中为平面有向曲线上点处的切线向量的方向角．其中为空间有向曲线上点处的切线向量的方向角．2．曲线积分的计算公式(1)对弧长的曲线积分设函数在平面曲线上连续在区间上连续，且，则设函数在空间曲线上连续，在区间上连续，且，则-..注意化对弧长的曲
2、线积分为定积分时,定积分的上限一定比下限大．（2）对坐标的曲线积分设为:为始点参数，为终点参数，则类似地,对于空间曲线为始点参数，为终点参数．（3）全微分式求原函数设函数,在单连通域内有连续的一阶偏导数,且，则在内为某一函数的全微分，且有，(如图10－1(a))或，(如图10－1(b))．图10－1(b)图10－1(a)3．曲线积分的有关定理定理1(格林公式)设闭区域是由分段光滑的曲线围成,函数在上具有连续的一阶偏导数，则有，其中是的取正向的边界曲线．定理2(平面上曲线积分与路径无关的条件)设函数,在单连通域内有连
3、续的一阶偏导数,则以下四个条件等价① 与路径无关,即,其中、为内具有相同始点和终点任意曲线；-..② ,其中为内的任意闭曲线;③ 在内恒成立;④,即在内为某一函数的全微分．4．曲面积分的基本概念与性质（1）对面积的曲面积分（又称第一类曲面积分）物理意义曲面质量．（2）对坐标的曲面积分（又称第二类曲面积分）指定了侧的曲面称为有向曲面．++物理意义稳定流在单位时间内流过曲面一侧的流量．性质1可加性性质2方向性（3）两类曲面积分之间的关系其中是有向曲面上点处的法向量的方向余弦．5．曲面积分的计算公式（1）对面积的曲面积分
4、设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则（一投二代三微元）（2）对坐标的曲面积分设光滑曲面的方程是在坐标面上的投影区域为，则（一投二代三定向）取上侧时为正，取下侧时为负．注意当曲面是母线平行于轴的柱面时，．6．曲面积分的有关定理-..定理1（高斯公式）设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有或其中是的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向余弦．定理2（斯托克斯公式）设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数在包含曲面在内的一个
5、空间区域内具有一阶连续偏导数，则有或，其中为有向曲面的单位法向量．7．向量场的散度和旋度设向量场由向量给出,其中有连续的一阶偏导数,则向量场的散度div．向量场的旋度．二、例题解析1.曲线积分例10.1求其中为圆周.-..解(方法一)化为定积分(方法二)例10.2计算,其中为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.分析由于曲线分段光滑,要利用可加性计算.解的方程为图10-2的方程为：的方程为，.所以 例10.3计算,其中为折线段所围成区域的整个边界.解(方法一)分段计算-..图10-3(方法二)由于曲线
6、关于轴对称,而是关于的奇函数,故又是关于都是偶函数,故所以注意一般地,若曲线关于轴对称,则有其中是在的部分.若曲线关于轴对称,则有其中是在的部分.例10.4计算,其中为圆周.解(方法一)如图10-4（a）,的参数方程为图10-4(a)(方法二)的极坐标方程为注意①在方法一中,参数表示圆心角,而在方法二中,参数表示极坐标系下的极角,参数的意义不同,一般取值范围也不相同.②若曲线在极坐标系下的方程为,则-..,可直接引用此式.③该例也可以先利用对称性化简,再化为定积分计算.例10.5计算,其中为.分析计算这个曲线积分的
7、关键,是正确的写出的参数方程.一般地,如果的方程形式为时,先求出关于的投影柱面,即利用两个曲面方程消去,再求出平面曲线的参数方程,并将其代入其中一个曲面方程解出,即得的参数方程.解(方法一)由于是平面上过球的中心的大圆．两个曲面方程联立消去,得①在①式中,令②③将②,③代入平面,得,故的参数方程为所以-..(方法二)由于积分曲线方程中的变量具有轮换性,即三个变量轮换位置方程不变,且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关.故有同理所以注意利用变量之间的轮换对称性技巧来解对弧长的曲线积分,往往有事半功倍之效.例10.6计
8、算,其中是摆线上对应从0到的一段弧.解根据公式图10-5例10.7计算,其中是曲线对应于的点到的点．解如图10-6，(方法一)参数化为定积分计算(方法二)用Green公式所以（方法三）全微分式积分例10.8计算,其中是用平面截球面-..所得的截痕,从轴的正向看去,沿逆时针方向．解将代入球面方程消去得，,令,并将其代入得,.:始点参数为0,终点参数为.例10.
