曲线积分与曲面积分复习.doc

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1、第8章曲线积分与曲面积分8.1向量值函数在有向曲线上的积分第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功变力沿曲线运动取微元，则。平面曲线，空间曲线，性质一、计算方法1．设参数，化定积分＋＝2．平面闭曲线上积分－用格林公式，其中L是D的取正向的边界曲线，D为单连通区域，P，Q与上有连续一阶偏导数。3．对于积分与路径无关的可自选路径4．积分与路径无关及偏导数于上连续。下列四个命题等价（1）＝0，对D内任意闭曲线C.（2）积分与路径无关（3）存在使du＝（4）在D内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1）计算，如图ABCDEA解（1）设参数法于

2、上设，于上设，于上以为参数，11于上以诶参数，于上，以为参数()综上解（2）（用格林公式）（2）计算。其中是曲线从轴正向看去，逆时针方向。解（1）令解（2）由对称性，而，，由上述参数法注（1）设参数注重平面，“抓住平面痕迹，解得空间曲线(2)对称性问题，以直观（几何）定义解之为好（3）计算：。交线，从轴正向看去逆时针方向。（令,，）例2格林公式（加线减线）（1）计算，从点沿曲线到点的曲线。11连接O，A直线段（记为L）2．L是不过原点的简单闭曲线（正向）计算曲线积分。解（1）当L不包围原点时（2）当L包围原点时，做小椭圆(使充分小，从而含于闭曲线内)。则。注：本题为一特殊类型，形式：闭曲线围奇

3、点；只当满足可微，此时对于任意围奇点的闭曲线积分相等。例3（积分与路径无关问题）P，Q已知，积分与路径无关，自选路径（1）计算，L：，由至再到弧段解易验证，积分与路径无关，做段（记为）则原式（2）计算，其中为起于沿到再沿至。解b．P，Q之一未知，已知积分于路径无关问题。（1）设具有连续二阶导数，且，，11其中L是任一不与轴相交的简单光滑逼曲线，求。解原积分为零，则，即，令，得，代入得，，，，代入初值得,，则即（2）设函数与xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分路径无关，且恒有求。解由于积分与路径无关，得，则，为待定函数，则从而，对t求导得，，从而；小注：上述两例由积分与路径无关，和P，Q之一

4、未知而导得微分方程，称为解方程问题。8.2向量值函数在有向曲面上的积分一、概念与形式1．定义流量，2．物理意义：计算流量，通量3．性质：4．计算方法：投影，定号：上正下负，右正左负，前正后负，做二重积分5.高斯公式，11或这里是的整个边界曲面的外测,是在点处的法向量的方向余弦.一、例题例1求积分，其中，部分外测解把分成两部分：，。例2，其中被所截部分曲面外测。解：综上，原式。例3计算，下半球面上侧。解做面，记，则原式例4计算，其中具有连续偏导数，和所围立体表面外测。解11例5设为上半球面：，下列积分不为零的是（A）；（B）；（C）；（D）（B）8.3Stoks公式应用例一、公式：,与的方向满足

5、右手定则。二、例题例1计算，C为曲线其方向为从轴正向看去为反时针方向。解原式由，，，，。，。上式。例2计算，其中L是平面与柱面的交线，从轴正向看去为逆时针方向。解原式注意到，，上式11。注：此类问题命题方式通常都是平面与曲面交线，且总是要化成第一型曲面积分来处理。同时为减少计算量P，Q，R通常为一次函数，充其量不过二次。习题课1．计算曲线积分，其中L是圆周.解利用L的极坐标方程被积函数，于是图8－20例2计算，其中L是圆周.解利用曲线积分的性质，得＝＋对于，因为积分曲线L是关于y轴对称的，被积函数是L上关于的奇函数，所以＝0.对于，因为积分曲线L是关于轴也是对称的，被积函数是L上关于y的奇函数

6、，所以＝0.综上所述，得＝0.关于对称性的一般法则设函数在一条光滑（或分段光滑）的曲线L上连续，L关于y轴（或x轴）对称，则（1）当是L上关于x（或y）的奇函数时，；（2）当是L上关于x（或y）的偶函数时，，其中曲线是曲线L落在y（或x）轴一侧的部分。例3计算，其中为，取逆时针方向.11解积分路径如图8－21，利用对称性。将原式分成两部分，即第一个积分，曲线关于轴对称，L在上半平面部分的走向与L在下半平面部分的走向相反(前者，后者)，被积函数是y的偶函数。第二个积分，曲线关于轴对称，L在右半平面部分的走向与L在左半平面部图8－21分的走向相反(前者，后者)，被积函数是x的偶函数。所以两个积分均

7、为零.即＝0上述结论再一般情况下也成立.对坐标的曲线积分，当平面曲线L是分段光滑的，关于轴对称，L在上半平面与下半平面部分的走向相反时，（1）若（即为的偶函数），则；（2）若（即为的奇函数），则，其中为L的上半平面的部分.类似地，对的讨论也有相应的结论.例4设，在光滑的有向曲线上连续，L为曲线弧的弧长，而，证明证由两类曲线积分的联系和性质，有例5求面密度为常数的均匀抛物面壳的重心坐标.解由抛物面的