余弦定理证明(精选多篇).doc

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1、余弦定理证明(精选多篇)第一篇：余弦定理证明过程在△abc中，设bc＝a，ac＝b，ab＝c，试根据b，c，a来表示a。分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，边a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用边角关系表示，db可利用ab－ad转化为ad，进而在rt△aｄc内求解。解：过c作cd⊥ab，垂足为d，则在rt△cｄb中，根据勾股定理可得：

2、a2＝cｄ2＋bｄ2∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2－2c·aｄ又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa∴a2＝b2＋c2－2bccosa类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc第二篇：余弦定理证明余弦定理证明在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠余弦定理证明(精选多篇)第一篇：余弦定理证明过程在△abc中

3、，设bc＝a，ac＝b，ab＝c，试根据b，c，a来表示a。分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，边a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用边角关系表示，db可利用ab－ad转化为ad，进而在rt△aｄc内求解。解：过c作cd⊥ab，垂足为d，则在rt△cｄb中，根据勾股定理可得：a2＝cｄ2＋bｄ2∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ

4、2又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2－2c·aｄ又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa∴a2＝b2＋c2－2bccosa类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc第二篇：余弦定理证明余弦定理证明在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac²=ad²+

5、dc²b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosbb²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²b²=c²+a²-2ac*cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移

6、到起点为原点a，则ad=cb.而

7、ad

8、=

9、cb

10、=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-c

11、cosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=√(c+(a/2)-ac*cosb)

12、=(1/2)√(4c+a-4ac*cosb)由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b+2c-a)同理可得：mb=mc=4ma=√(c+(a/2)-ac*cosb)=(1/2)√(4c+a-4ac*cosb)由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=(1/2)√=(1/2)√(2b+2c