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1、证明余弦定理(精选多篇) 怎么证明余弦定理 证明余弦定理： 因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。 又因为b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2， 所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2， 所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2， 所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa， 所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc 同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+
2、b^2-c^2)/2ab 2 在任意△abc中,作ad⊥bc. ∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a--> bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原
3、点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).∴cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而
4、ad
5、=
6、cb
7、=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=osa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=b
8、sinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bosa.同理可证b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb) =(1/2)√(4
9、c^2+a^2-4ac*cosb) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√ =(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2) 同理可得： mb= mc= 4 ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√ =(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2) 证毕。 用复数证
10、明余弦定理 法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc为邻边作平行四边形ab′，则∠bac′=π-∠b， ∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb). 根据向量的运算： =(-acosb,asinb)， =-=(bcosa-c,bsina), (1)由=：得 asinb=bsina,即 =. 同理可得：=. ∴==. (2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bosa， 又
11、
12、=a, ∴a2
13、=b2+c2-2bosa. 同理： c2=a2+b2-2abcosc; b2=a2+c2-2aosb. 法二：如图5， ,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2aosb. 即b2=a2+c2-2aosb.(4) 这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 2 在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b 则c^2=a^2+b^2-
