余弦定理证明(精选多篇).doc

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1、余弦定理证明(精选多篇)　　第一篇：余弦定理证明过程第二篇：余弦定理证明第三篇：余弦定理证明过程第四篇：余弦定理的证明方法第五篇：高考考余弦定理证明更多相关范文　　在△abc中，设bc＝a，ac＝b，ab＝c，试根据b，c，a来表示a。分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，边a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用边角关系表示，db可利用ab－ad转化为ad，进

2、而在rt△aｄc内求解。　　解：过c作cd⊥ab，垂足为d，则在rt△cｄb中，根据勾股定理可得：a2＝cｄ2＋bｄ2　　∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2　　　　又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2　　∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2　　－2c·aｄ又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa∴a2＝b2＋c2－2bosa类似地可以证明b2＝a2＋c2－2aosb，c2＝a2＋b2－2abcosc　　余弦定理证明　　在任意△abc中,作ad⊥bc.　　∠c对

3、边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->　　bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c　　勾股定理可知：　　ac?=ad?+dc?　　b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)?　　b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb　　b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a?　　b?=c?+a?-2ac*cosb　　所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac　　2　　如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所

4、在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).∴cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而

5、ad

6、=

7、cb

8、=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=osa-b…

9、…②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bosa.同理可证b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦

10、定理证明:　　mb=(1/2)　　mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb　　得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：　　ma=(1/2)√　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)　　同理可得：　　mb=　　mc=　　4　　ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)　　由b^2=a^2+c^

11、2-2ac*cosb　　得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：　　ma=(1/2)√　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)　　证毕。　　余弦定理证明过程　　ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb　　得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：　　ma=(1/2)√　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)　　证毕。　　2　　在任意

12、△abc中,作ad⊥bc.　　∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->　　bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c　　勾股定理可知：　　ac?=ad?+dc?　　b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)?　　b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb　　b?=(s