q-bernstein算子的性质研究【文献综述】

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1、毕业论文文献综述数学与应用数学q-Bernstein算子的性质研究一、国内外现状从本世纪50年代起，泛函分析方法在逼近理论的研宂和应用中的影响日益增大，并形成逼近论的一个重要分支一一算子逼近，其原因是算子理论将泛函分析中高度概括的思维方法和古典分析中的精致技巧结合起来，从而使经典的逼近方法有了新的生长点，因此三十多年来算子逼近的研究得到迅速发展，建立了系统的方法和理论并对其他数学分支产生广泛的影响.算子逼近论主要是研究如下一些问题.研究线性算子序列的收敛性质，这里主要讨论依范数收敛，点态收敛以及收敛速度的渐进分析，这类问题统称为逼近定理.关于这方而的工作是1951年巾P.P.Kor

2、ovkin和H.Bohman分别对连续函数空间建立的，随后由许多学者逐步推广到可测函数空间.研究收敛速度的量化.研究算子逼近中的饱和现象，这主要的工作是确定算子逼近的饱和阶和饱和类.人们统称为这类结果为饱和定理，当然它们也是衡fi逼近精度的一个重要事实.1912年，Bernstein发表的《论连续函数借助于具有同定次数的多项式的最佳逼近》的论文，奠定了函数构造论的基础.他引进了伯恩斯坦多项式、三角多项式导数的伯恩斯坦不等式等.开创了不少函数构造的研宂方向，如多项式逼近定理，确定单连通域多项式的逼近的准确近似度等，与其有关的研宂也一直来从未间断.其中的一个研宄分支就是从各个方面对Be

3、rnstein算子进行/推广，如Stancu算子.另一种较新形式的推广是1997年Phiilips首先引入的基于q—整数的Bernstein算子.当q=l吋，这一算子就是我们熟悉的Bernstein算子；而对q^l的情况，研宄表明其有很多与经典Bernstein算子迥异的性质.由于伯恩斯坦多项式在逼近理论及其应用上扮演了一个重要角色，它们的各种变形一直被不断地研究.由于q计算的深入发展，Bernstein多项式基于q计算的变形己经出现.二、进展情况在1912年,Bernstein提出了Bernstein多项式用来逼近区间［0,1］上的连续函数.Bernstein多项式在逼近论中起着

4、重要的作用，关于它的种种应用和各种的变形，人们已经做了大量的研究.特别地，近些年来，随着q微积分的发展，出现了很多基于q整数的算子的各种推广.这个研宂方向第一步是由A.Lupas在1987年作出的.A.Lupas首先提出q-模拟Bernstein算子，并研宄丫该算子的收敛和形状保持性质.但是,q—模拟算子是有理函数而不是多项式.他考虑了Bernstein算子基于q的变形并研究了它的收敛性和保持形状的性质.然而，A.Lupas讨论的算子是用有理函数给出的，而不是多项在1997年，菲利普引入了q-Bernstein多项式，在牛顿插值公式的帮助下第一次建立了q-Bernstoin多项式的

5、基本框架.phillips提出了基于q整数的Bernstein多项式.当时,q-Bernstein多项戎就是经典的Bernstein多项式;当q^l时，我们得到具有许多不同性质的新的多项式.q-Bernstein算子是对经典的Bernstein算子的推广.Bernstein多项式有许多杰出的性质，使它成为了研宂的热门领域.特别是近些年来，开拓了新领域，出现了一些新的应用和推广.这些结果主要在于q-Bernstein算子的保单调性和保凸凹性，参数q不同取值时其不同寻常的收敛性质以及本身迭代与Boolean和迭代的收敛性质等等.近年来，众多学者对其进行了广泛的研宂，得到了很多有意义的结

6、果.其中，Phillips和V.S.Videnskii都是利用连续模來研宂q—Bernstein算子对连续函数逼近度.至今，中国首大的汪和平教授证明丫能应川于q-Bernstein多项式序列的一般Korovkin型定理.该定理不但揭示了极限q-Bernstein算子的存在，而且给出了一个收敛速度的估计，这一估计对/eC2［0，l］是准确的.他注意到极限q-Bernstein算子的形成就像T.Trif在［16］屮考虑的q-Meyer_Konig和Zeller算子的极限序列.由于当q〉l时，q-Bemstein多项式不是正算子这个事实，这种情况很少被研究.然而，近儿年也出现了一些新结果

7、.关于q〉l时,q-Bernstein算子的收敛性想由Ostrovska在『181屮给出的.出人意料地，此时，该算子虽不再是正线性算子，但对某些函数却有着更好的逼近效果.另外，Ostrovska还对极限算子在复平面上的解析性进行了研究，并对q丨1时q-Bernstein算子的收敛速度进行了估计.三、存在问题人们利用概率论屮的屮心极限定理来研究线性算子对有界变差函数（有界函数）的逼近性质，利用各种概率分布构造逼近算子和用概率方法研究算子逼近中的问题，是算子逼近论研究中一