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1、（20__届）本科毕业设计数学与应用数学q-Bernstein算子的性质研究13目录中文摘要……………………………………………………………………………………11.引言……………………………………………………………………………………12.经典Bernstein多项式的基本性质…………………………………………………13.q-Bernstein多项式……………………………………………………………………43.1q-Bernstein多项式的基本定义………………………………………………43.2q-Bernstein多项式的性质……………………………………………………53.2.1q
2、-Bernstein多项式的保形性等…………………………………………53.2.2q-Bernstein多项式的逼近性质…………………………………………9致谢辞……………………………………………………………………………………12参考文献…………………………………………………………………………………12Abstract…………………………………………………………………………………1213q-Bernstein算子的性质研究摘要：本文简单介绍了q-Bernstein算子的定义和性质,包括了保形性质和收敛速度等方面的性质,并且用q-导数给出了保形性的新证明.关键词：q-Bern
3、stein多项式,q-导数,保形性,极限q-Bernstein算子,收敛速度.1引言1912年,Bernstein发表的《论连续函数借助于具有固定次数的多项式的最佳逼近》的论文,奠定了函数构造论的基础.他提出了Bernstein多项式用来逼近区间[O,1]上的连续函数.定义1.1[1]设是上的函数,,约定.称上的多项式函数为的Bernstein多项式.Bernstein多项式在逼近论中起着重要的作用,关于它的种种应用和各种的变形,人们已经做了大量的研究.应用方面得到了Bernstein多项式，三角多项式导数的Bernstein不等式，开创了不少函数构造的研究方向,如多项
4、式逼近定理,确定单连通域多项式的逼近的准确近似度等.另外一个研究分支就是从各个方面对Bernstein算子进行了推广,如Kantorovovich算子，Durrmeyer算子，Bernstein-Sikkema算子和Stancu算子等.特别地,近些年来,随着q微积分的发展,出现了很多基于q整数的算子的各种推广.这个研究方向第一步是由A.Lupas在1987年作出的.A.Lupas首先提出q型Bernstein算子,并研究了该算子的收敛和形状保持性质.但是,他给出的这种q-算子是有理函数而不是多项式.1997年Phiilips在牛顿插值公式的帮助下建立了q-Bernste
5、in多项式.当q=1时,这种q-Bernstein多项式就是经典的Bernstein多项式；当q≠1时,人们得到许多与经典Bernstein多项式迥然不同的性质.这些结果主要在于q-Bernstein算子的保单调性和保凸凹性,参数q不同取值时其不同寻常的收敛性质以及本身迭代与Boolean和迭代的收敛性质等等.本文先介绍经典Bernstein多项式的一些基本结果，然后给出相应的q-Bernstein多项式的结果，主要是在保形性和逼近性质方面的，并且用q-导数简洁地给出了q-Bernstein算子保形性的证明.2经典Bernstein多项式的基本性质Bernstein多项
6、式有如下的线性性：定理2.1[3]若是上的函数,是常数,是上的恒等映射,则13(1)的次数;(2);(线性性质)(3).Bernstein多项式有如下的端点插值性，正性和保持被逼近函数本身单调性及凸凹性的性质（简称保形性）：定理2.2[1]设是上的函数,那么(1),;（端点插值性）(2);（正性）(3)是上的单调函数(或严格单调函数)也是上单调函数(或严格单调函数),其增减性与相同;（保单调性）(4)是上的凸函数(或严格凸函数)也是上凸函数(或严格凸函数),并且(或).（保凸凹性）Bernstein多项式有如下的逼近性，它表明：多项式在连续函数空间是稠密的.定理2.3[
7、2](Bernstein多项式的逼近性质)设是上的连续函数.那么,,使得当时,都成立.定理2.3的结果可以直接由下面的Korovkin定理推得.定理2.4[5](P.P.Korovkin定理)设是中的正线性算子序列,如果对于,在[a,b]上一致收敛于,则对于每个函数,在[a,b]上一致收敛于f(x).这里我们称是正线性代数多项式算子的三个检验函数.定理2.3的证明:对于Bernstein多项式,我们首先指出,这里其次证明一致收敛于,i=1,2.13显然,对k=1,2,…,n,有，所以类似地,所以根据上述Korovkin定理得:对,使得当时
