几何图形（二）

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题几何图形（二）编稿老师宋玲玲一校林卉二校黄楠审核张舒所有点不在同一平面上的图形叫立体图形。在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们表面积的计算公式。认识立体图形，可以帮助大家直观地认识各种物体的形状和特点，自己动手摆出不同形状的立体组合，还可以通过拆分体会各种几何体之间的变换关系，从而加深对立体图形特征的认识和理解，建立空间观念。立体图形的特点和常用公式：正方体：有8个顶点，6个面。每个面面积相等（或每个面都由

2、正方形组成）。有12条边，每条棱长的长度都相等。（正方体是特殊的长方体）正方体的表面积＝棱长×棱长×6长方体：有8个顶点，6个面。每个面都由长方形或相对的正方形组成。有12条边，相对的4条棱的棱长相等。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2圆柱：上下两个面为大小相同的圆形。有一个曲面叫侧面。展开后为长方形或正方形。有无数条高，这些高的长度都相等。圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的表面积＝2×底面积＋侧面积圆锥：有1个顶点，1个曲面，1个底面。展开后为扇形。只有1条高。例1下图是边长为80厘米的正方形，它的内侧有一个半径为10厘米的圆

3、沿着正方形的各边滚动一周，圆形滚动不到的地方面积有多大？这个圆的圆心所经过的总路程是多少厘米？（π取3.14）分析与解：圆沿着正方形的各边滚动一周，所经过的路径如下图所示：第8页版权所有不得复制四个角上一个空白部分的面积＝边长为10厘米的正方形的面积－半径为10厘米的圆的面积×图中空白正方形的边长＝大正方形的边长－4×圆的半径因此，图中空白部分的面积等于每个角上空白部分的面积加上图中空白正方形的面积，即（102－102×3.14×）×4＋（80－10×4）2＝1686（平方厘米）。圆的圆心所经过的路径形成一个边长为80－10×2＝60（厘

4、米）的正方形，所以圆心所经过的总路程是60×4＝240（厘米）。例2用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少平方厘米？分析与解：不同的堆法可以得到不同的表面积，但是其体积是一个固定值。在体积相等的情况下，正方体的表面积比长方体的表面积小。在无法拼成正方体的情况下，我们考虑让长方体的长、宽、高尽可能地接近，并且所拼出的大长方体的长、宽、高分别是小长方体的长、宽、高的倍数（只有这样才能拼成长方体），此种拼法所得到的长方体表面积最小。这个长方体的体积是10×7×5×3＝1050（立方厘米），1

5、050＝2×5×7×5×3＝7×10×15，即当大长方体的高＝7、宽＝5×2＝10、长＝3×5＝15时，这个长方体的长、宽、高尽可能接近，它的表面积最小。表面积最小是（7×10＋7×15＋10×15）×2＝650（平方厘米）。例3一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？第8页版权所有不得复制分析与解：立体图形的好处就是可以直观观察，虽然图形被挖去，但6个面看过去

6、时面积还是不变的，特别是从上往下看时，3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自侧面。原正方体的表面积是2×2×6＝24（平方厘米），增加的面积1×4＋（×）×4＋（×）×4，所以表面积为24＋1×4＋（×）×4＋（×）×4＝29（平方厘米）。例4一个边长为4厘米的正方体，分别从前后、左右、上下各面的中心处向内挖去一个边长为1厘米的正方体，做成一种玩具。它的表面积是多少平方厘米？分析与解：4－1×2＝2（厘米），说明挖去小正方体后，大正方体的中心还是实心的。每挖去一个小正方体表面积增加1×1×4＝4

7、（平方厘米）。共挖去6个小正方体，表面积共增加4×6＝24（平方厘米）。因为正方体原来的表面积＝4×4×6＝96（平方厘米），新增表面积＝1×1×4×6＝24（平方厘米），所以现在图形的表面积＝96＋24＝120（平方厘米）。例5如图所示，在棱长为3分米的正方体中由上到下、由左到右、由前到后，有3个底面积是1平方分米的正方形、高为3分米的长方体的洞。把这个物体染上颜色，染色的面积是多少？第8页版权所有不得复制分析与解：由题意可知，大正方体被挖通了，所以情况比较复杂。没打洞前正方体表面积：3×3×6＝54（平方分米），打洞后面积减少了：1×

8、6＝6（平方分米），但因为小洞的表面积，又增加：4×6＝24（平方分米），所以现在这个物体的染色面积：54－6＋24＝72（平方分米）。例6甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的，乙容器中