历届高考数学真题汇编专题4_数列_理(

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【高考试题】一、选择题1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和=A.7B.15C.20D.252.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有D.若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，，，则（）【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得， ；若，解得，仍有，综上选D.4.【2012高考真题上海理18】设，，在中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．1005.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(A)58(B)88(C)143(D)176【答案】B【解析】在等差数列中，，答案为B6.【2012高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，则（）A、B、C、D、7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：①；②；③；④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为A．①②B．③④C．①③D．②④8.【2012高考真题福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为A.1B.2C.3D.4【答案】B.【解析】由等差中项的性质知，又.故选B.9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（）【答案】B【解析】．10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)(B)(C)(D) 【答案】A二、填空题11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________。【答案】【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5,3,2；②对数列都存在正整数，当时总有；③当时，；④对某个正整数，若，则。其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）【答案】①③④【解析】当时，， ，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.13.【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an=______________。【答案】【解析】15.【2012高考真题江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，则__________。【答案】35【解析】设数列的公差分别为，则由，得，即，所以，所以。 16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。18.【2012高考真题重庆理12】.【答案】【解析】19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则。【答案】。【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，∴++…+==，∴。 20.【2012高考真题福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________.三、解答题21【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，（1）设，，求证：数列是等差数列；（2）设，，且是等比数列，求和的值．【答案】解：（1）∵，∴。∴。∴。∴数列是以1为公差的等差数列。（2）∵，∴。∴。（﹡） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。 22.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.故记数列的前项和为.当时，；当时，；当时，.当时，满足此式.综上，23.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有. 【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般. 25.【2012高考真题四川理20】(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想 26.【2012高考真题四川理22】(本小题满分14分)已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 27.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有.【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般. 29.【2012高考真题重庆理21】（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.）设数列的前项和满足，其中. （I）求证：是首项为1的等比数列；（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.【答案】 30.【2012高考真题江西理17】（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和，,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn。 【答案】31.【2012高考真题安徽理21】（本小题满分13分）数列满足：（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。【解析】（I）必要条件当时，数列是单调递减数列。充分条件数列是单调递减数列，得：数列是单调递减数列的充分必要条件是。（II）由（I）得：，①当时，，不合题意；②当时，，，。 32.【2012高考真题天津理18】（本小题满分13分）已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，.（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）记，，证明（）.【答案】 33.【2012高考真题湖南理19】（本小题满分12分）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……（1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式.（2）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.【答案】解（１）对任意,三个数是等差数列，所以 　　　　　　　　　　　　即亦即故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有由知，均大于０，于是　　　　　　　　即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.【解析】【2011年高考试题】1.(2011年高考四川卷理科8)数列的首项为，为等差数列且.若则，，则() （A）0（B）3（C）8（D）11答案：B解析：由已知知由叠加法.2.(2011年高考全国卷理科4)设为等差数列的前项和，若，公差，，则（A）8（B）7（C）6（D）53.(2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则.【答案】10【解析】由题得5.(2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升答案：解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.5.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）。【答案】2000 【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为=即时.6.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，，则解析：74.，故7.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________8．(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。【答案】—29.(2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和. 【解析】（I）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，故10.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列的前n项和. 所以.综上，数列的前n项和为.11.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项(),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.[【解析】（Ⅰ）则， （Ⅱ）因为，所以当时，即；所以当时，；当时，.12.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和.（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又所以数列的前项和为13.(2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知数列与满足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（Ⅲ）设证明：．【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（Ⅰ）解:由,,可得,又 当n=1时,,由,,得;当n=2时,,可得.当n=3时,,可得.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由④式得从而所以，对任意， 对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意14.(2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分）已知两个等比数列，，满足，，，. （1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.15.(2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，，故，），则（1）；（2）.答案：2;1093解析：（1）由题意知，所以2；（2）通过例举可知：，，，，，，，，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：从而 .评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.16.(2011年高考广东卷理科20)设数列满足,(1)求数列的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,②当（2）当时，（欲证） ，当综上所述17.(2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）已知数列的前n项和为，且满足：(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.解析：（Ⅰ）由已知，可得，两式相减可得即又，所以当时，数列为：；当时，由已知，所以于是由，可得，成等比数列，当时， 综上，数列的通项公式为18.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设实数数列的前n项和满足（Ⅰ）若成等比数列，求和（Ⅱ）求证：对有。解析：（Ⅰ）由题意，得，由是等比中项知，因此，由，解得，（Ⅱ）证明：有题设条件有，故，且 从而对有①19．(2011年高考四川卷理科20)(本小题共12分)设d为非零实数，an=[C1nd+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1dn-1+nCnndn](n∈N*).(I)写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设bn=ndan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．解析：（1） 20.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设【解析】：（Ⅰ）由得，前项为，（Ⅱ）21.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立 （1）设M=｛1｝，，求的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式（2）由题意：，当时，由（1）（2）得：由（3）（4）得：由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：22．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 （1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求23．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）若数列满足，数列为数列，记=．（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以. 因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有 当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得24．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。（I）求数列{an}的通项公式；（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。25．(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列 。（1）求；（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。【2010年高考试题】（2010浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，，则（A）11（B）5（C）（D）解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题 （2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35（2010辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1,,则（A）(B)(C)(D)【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。（2010江西理数）5.等比数列中，，=4，函数，则（）A．B.C.D.【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。（2010江西理数）4.（） A.B.C.2D.不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。（2010重庆理数）（1）在等比数列中，，则公比q的值为A.2B.3C.4D.8解析：（2010四川理数）（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0（B）（C）1（D）2（2010天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5（B）或5（C）（D）【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和.【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。（2010广东理数）4.已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且与2的等差中项为，则=A．35B.33C.31D.291.（2010安徽理数）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、【答案】D【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.（2010湖北理数）7、如图，在半径为r的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则=A．2B.C.4D.6（2010福建理数）3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。（2010辽宁理数）（16）已知数列满足则的最小值为__________. （2010福建理数）11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式．【答案】【解析】由题意知，解得，所以通项。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。3.（2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。（2010江西理数）22.（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b1)。设=+…..+,=-+…..+(-1,n(1)若==1，d=2，q=3，求的值；(2)若=1，证明(1-q)-(1+q)=，n； (3)若正数n满足2nq，设的两个不同的排列，，证明。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。所以，(Ⅲ)证明：因为所以 若，取i=n若，取i满足且【2008年高考试题】4.(2008·广东卷理2)记等差数列的前项和为，若，，则()A．16B．24C．36D．48答案：D解析：，，故7.(2008·广东理2)记等差数列的前项和为，若，，则()A．16B．24C．36D．48答案：D。 3.(2008·海南宁夏卷理17)已知数列是一个等差数列，且，。(1)求的通项；(2)求前n项和的最大值。解：(Ⅰ)设的公差为，由已知条件，，解出，．所以．(Ⅱ)．所以时，取到最大值．4.(2008·山东理19文20)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6 a7a8a9a10……记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1.Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=(n≥2).(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.(Ⅱ)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0.因为　　　　所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项，　故a82在表中第13行第三列，　因此又　　　所以q=2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，则(k≥3).点评：本题考查等差数列、等比数列的基本知识，考查数列求和及推理运算能力。 5.(2008·江苏卷19).(Ⅰ)设是各项均不为零的等差数列()，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：①当n=4时，求的数值；②求的所有可能值；(Ⅱ)求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列．②当n＝5时，中同样不可能删去首项或末项．若删去，则有＝，即．故得=6；若删去，则＝，即．化简得3＝0，因为d≠0，所以也不能删去；若删去，则有＝，即．故得=2．当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列，，，…，，，中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有＝，这与d≠0矛盾；同样若删去也有＝，这与d≠0矛盾；若删去，…，中任意一个，则必有＝，这与d≠0矛盾．综上所述，n∈{4，5}．点评：等差等比数列这部分内容主要考查公式的灵活应用，这是高考的热点。6.(2008·广东卷21)设为实数，是方程的两个实根，数列 满足，，(…)．(1)证明：，；(2)求数列的通项公式；(3)若，，求的前项和．①当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,,两式相减，得，，，，即，②当时，即方程有重根，，即，得，不妨设，由①可知 ，，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，,综上所述，【2007年高考试题】1．(2007·宁夏、海南理4)已知是等差数列，，其前10项和，则其公差(　　)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：D解析：选D2．(2007·宁夏、海南理7)已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是(　　)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 答案：D解析：选D。3．(2007·广东理5)已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则=A．9B．8C．7D．61．(2007·山东理17)设数列满足，．(Ⅰ)求数列的通项；(Ⅱ)设，求数列的前项和．解：(I)验证时也满足上式，(II)，，2．(2007·山东理18)设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知， 且构成等差数列．(1)求数列的等差数列．(2)令求数列的前项和．(2)由于由(1)得又是等差数列．故．