第8次课 2 学时.doc

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1、第8次课2学时上次课复习：单位冲激响应，阶跃响应本次课题（或教材章节题目）：第六节卷积积分及其定义；第七节卷积的性质教学要求：掌握卷积积分的定义及图解法重点：卷积的定义难点：积分上下限的选取教学手段及教具：讲述讲授内容及时间分配：第六节卷积积分及其定义0.5节课第七节卷积的性质1.5节课课后作业参考资料注：本页为每次课教案首页第六节卷积1.卷积积分定义及物理意义卷积方法最早的研究可追溯到19世纪初：数学家欧拉(Euler)、泊松(Poission)、杜阿美尔(Duhamel)等人。卷积方法的原理：是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应h(t)，求解系统对任

2、意激励信号的零状态响应。卷积积分中积分极限很关键，务必在运算中注意。2.用卷积积分法求零状态响应3.卷积方法原理：任意信号可以用冲激信号的组合表示：若将此信号作用到冲激响应为h(t)的线性时不变系统，则系统的响应为：这就是卷积方法。4.卷积积分图解法卷积积分图解法：可以把卷积运算中一些抽象的关系形象化，便于理解卷积的概念及方便运算。卷积积分图解法五个步骤：１、反折　２、平移　３、相乘　４、相加•具体地：（１）改换图形中的横坐标，由t改为t，t变成函数的自变量；（２）把其中一个信号反折（反褶）。（３）把反折后的信号做位移，移位量是t，这样t是一个参变量。在t坐标系中

3、，t>0图形右移；t<0图形左移。（４）两信号重叠部分相乘e(t)h(t-t);（５）完成相乘后图形的积分。例2.10（4）相加：以上各图中的阴影面积，即为相乘积分的结果。最后，若以t为横坐标，将与t对应积分值描成曲线，就是卷积积分e(t)*h(t)函数图像。第六节卷积的性质作为一种数学运算方法，卷积积分具有某些特殊的性质。利用这些性质可使卷积运算大为简化。 1.7.1卷积代数通常，卷积积分与代数中的乘法运算性质相类似。（1）交换律（2.5-1）（2）分配律（2.5-2）这个性质可以利用卷积的定义式得到，即（3）结合律（2.5-4）1.7.2卷积的微分与积分上述卷

4、积代数运算的规律与普通乘法类似，但卷积的微分或积分运算却与普通两函数的乘积的微分、积分运算不同。设，则有（1）卷积的微分性质（2.5-6）同理可证卷积的微分性质表明，卷积后求导和先对其中任何一个先求导后再卷积的结果是一样的。（2）卷积的积分性质(2.5-7)式中、和分别表示、和的一次从－∞~ｔ的积分。同理可证。卷积的积分性质表明，卷积之后积分和先对其中任何一个先积分再卷积的结果是一样的。（3）卷积的微积分性质（2.5-8）式(2.5-8)成立是有条件的：求导的那个函数在处为零值，或者被积分的那个函数在区间上的积分值(即函数波形的净面积)为零值。显然，式(2.5-8

5、)可推广为(2.5-10)式中，i为整数。当为正整数时表示导数的阶数，为负整数时表示重积分的次数。当然，也应有相应的条件：(2.5-11)卷积的微积分性质还可以进一步推广，其一般形式可写成（2.5-12）1.7.3含有冲激函数的卷积（1）任意函数与单位冲激函数卷积的结果仍然是本身，根据式（2.3-3）和卷积的定义，有（2.5-15）进一步有（2.5-17）由此可见任意函数与一个延迟时间为秒的单位冲激函数的卷积，只是使在时间上延迟了，而波形不变。这一性质称为重现特性（replicationproperty）。利用卷积的微分、积分性质，还可以得到（2.5-18）（2.

6、5-19）利用卷积的性质能大大简化卷积运算。另有：1.7.4卷积的时移 1.7.5卷积的数值计算 卷积积分除通过直接积分或查表的方法进行求解外，还可以利用计算机求解，这就是卷积积分的数值计算。数值计算所依据的原理就是导出卷积积分的近似公式：举例2.11:v举例2.12:如图所示系统的e(t)、h(t)，求其零状态响应，v卷积积分的上、下限讨论（1）若（2）若为因果信号，为一般信号，则上、下限可写为（3）若为一般信号，为因果信号，则上、下限可写为（4）若均为一般信号，则上、下限应为注：因果信号：第八节LTI系统的响应全响应＝零输入响应＋零状态响应齐次解例2－8：用卷

7、积的方法求零状态响应解：先求单位冲激响应h(t)v然后求系统的零状态响应：t>0时，e(t)=4u(t)则：