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1、第八章第八节双曲线课下练兵场命题报告 难度及题号知识点 容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)双曲线的定义及其标准方程1、28、10双曲线的几何性质34、5、7、9直线与双曲线的位置关系611、12一、选择题1.已知定点A、B,且
2、AB
3、=4,动点P满足
4、PA
5、-
6、PB
7、=3,则
8、PA
9、的最小值是( )A. B.C.D.5解析:因为
10、AB
11、=4,
12、PA
13、-
14、PB
15、=3,故满足条件的点在双曲线右支上,则
16、PA
17、的最小值为右顶点到A的距离2+=.答案:C2.已知点F1(-,0),F2(,0),动点P满足
18、PF
19、2
20、-
21、PF1
22、=2,当点P的纵坐标是时,点P到坐标原点的距离是( )A.B.C.D.2解析:由已知可知c=,a=1,∴b=1,∴双曲线方程为x2-y2=1(x≤-1).代入可求P的横坐标为x=-.∴P到原点的距离为=.答案:A3.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m=( )A.1B.2C.3D.4解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点(0,),一条渐近线3y-mx=0,=⇒m=4.答案:D4.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且·=0,则
23、
24、+
25、=( )A.B.2C.D.2解析:设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.点P在双曲线上,且·=0,则
26、+
27、=2
28、
29、=
30、
31、=2.答案:B5.F1、F2是双曲线C的两个焦点,P是C上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为( )A.1+B.2+C.3-D.3+解析:由△PF1F2为等腰直角三角形,又
32、PF1
33、≠
34、PF2
35、,故必有
36、F1F2
37、=
38、PF2
39、,即2c=,从而得c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,解之得e=1±,∵e>1,∴e=1+.答案:A6.斜率为2的直线l过双曲线-=1(a>
40、0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率e的取值范围是( )A.e< B.1<e<C.1<e<D.e>解析:依题意,结合图形分析可知,双曲线的一条渐近线的斜率必大于2,即>2,因此该双曲线的离心率e===>.答案:D二、填空题7.(2010·平顶山模拟)A、F分别是双曲线9x2-3y2=1的左顶点和右焦点,P是双曲线右支上任一点,若∠PFA=λ·∠PAF,则λ=________.解析:特殊值法,取点P为(,1),得∠PFA=2∠PAF,故λ=2.答案:28.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0.
41、以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________.解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解.即该圆与y轴无交点.令y=0,得x=2或x=4,符合条件的双曲线a=2,c=4,∴b2=c2-a2=16-4=12且焦点在x轴上,∴双曲线方程为-=1.答案:-=19.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率是2,则的最小值是________.解析:=2⇒=4⇒a2+b2=4a2⇒3a2=b2,则==a+≥2=,当a=即a=时取最小值.答案:三、解答题10.已知双曲线的中心在原
42、点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线方程;(2)求证:·=0;(3)求△F1MF2面积.解:(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ.∵过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明:法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴kMF1=,kMF2=,kMF1·kMF2==-.∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴·=0.法二
43、:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,∵M点在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0.(3)△F1MF2的底
44、F1F2
45、=4,由(2)知m=±.∴△F1MF2的高h=
46、m
47、=,∴S△F1MF2=6.11.(2010·西安模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,直线l过A(a,0),B(0,-b)两点,原点O到直线l的距离是.(1)求双曲线的方程;(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点,若·=-23,求直线m的方程.解:(1)依题意,l方程+=1,即b
48、x-ay-ab=0,由原点O到l的距离为,得==,又e==,∴b=1,a=.故所求双曲线方程为-y2=1.(2)显然直线m不与x轴垂直,设m方程为y=kx-1,则点M、N坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组的解,消去y,得(1-
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