2019版高考数学一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和学案

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1、第30讲 等比数列及其前n项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.2016·全国卷Ⅲ,172016·湖南卷,142016·四川卷,192016·天津卷,51.利用公式求等比数列指定项、前n项和;利用定义、通项公式证明等比数列.2.利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和.分值:5~7分1.等比数列的有关概念(1)等比数列的有关概念一般地,如果一个数列从__第2项__起,每一项与它的前一项的比等于_

2、_同一__常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的__公比__,通常用字母__q__表示.(2)等比中项如果三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,那么__=__,即__G2=ab__.2.等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1,公比为q,q≠0,则它的通项公式an=__a1·qn-1__.(2)等比数列的前n项和公式等比数列的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=__na1__;当q≠1时,Sn=____=____.3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:an=am·__qn-m__(n,m

3、∈N*).(2)若为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.(3)若,(项数相同)是等比数列,则(λ≠0),,,,仍是等比数列.(4)公比不为-1的等比数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为__qn__.1.思维辨析(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)常数列一定是等比数列.( × )(2)等比数列中不存在数值为0的项.( √ )(3)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列为等比数列.( × )(4)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( × )(5)若等比数列的首项为a1

4、,公比是q,则其通项公式为an=a1qn.( × )(6)数列的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.( × )(7)q>1时,等比数列是递增数列.( × )(8)在等比数列中,若am·an=ap·aq,则m+n=p+q.( × )解析(1)错误.常数列0,0,0,…不是等比数列,故错误.(2)正确.由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项,故正确.(3)错误.当q=0时,{an}不是等比数列,故错误.(4)错误.当G2=ab=0时,G不是a,b的等比中项,故错误.(5)错误.等比数列的通项公式为an=a1qn-1,故错误.(6)错误.当a=1时,Sn

5、=n,故错误.(7)错误.当q>1,a1<0时,等比数列递减,故错误.(8)错误.若an=1,a1·a3=a4·a5=1,但1+3≠4+5,故错误.2.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满足的条件是( D )A.a≠1  B.a≠0或a≠1C.a≠0  D.a≠0且a≠1解析由等比数列定义可知,a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1,故选D.3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3=( C )A.1∶2   B.2∶3C.3∶4    D.1∶3解析由等比数列的性质知S3,S6-S3,S9-S6仍成等比

6、数列,于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6),将S6=S3代入得=.4.在等比数列中,已知a1=-1,a4=64,则q=__-4__,S4=__51__.解析∵a4=a1·q3,∴q3=-64,q=-4,S4===51.5.在等比数列中,若a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11=__25__.解析由等比数列的性质知a8·a11=a9·a10=a7·a12=5,∴a8·a9·a10·a11=25.一 等比数列的基本量计算解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求

7、关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,的前n项和Sn=na1;当q≠1时,的前n项和Sn==.【例1】(1)已知等比数列满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( B )A.21  B.42  C.63  D.84(2)(2018·河南开封模拟)正项等比数列中,a2=4,a4=16,则数列的前9项和等于__1_022__.(3)在数列中,a1=2,an+1=2an,Sn为的前n项和.若Sn=126,则n=__6__.解析(1)∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2

8、+3q4=

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