2019版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第22讲正弦定理和余弦定理学案

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1、第22讲　正弦定理和余弦定理考纲要求考情分析命题趋势　　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2016·全国卷Ⅰ，172016·四川卷，172016·北京卷，15　　正、余弦定理是解三角形的主要工具.高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化.分值：5～12分1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容！！！　＝＝　###＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝！！！　b2＋c2－2bccosA　###，b2＝！！！　a2＋c2－2accosB　###，c2＝！！！　a2＋b2－2abcosC　###变形形

2、式a＝！！！　2RsinA　###，b＝！！！　2RsinB　###，c＝！！！　2RsinC　###，sinA＝！！！　　###，cosA＝！！！　　###，cosB＝！！！　sinB＝！！！　　###，sinC＝！！！　　###，a∶b∶c＝！！！　sinA∶sinB∶sinC　　###，cosC＝！！！　　###2．在△ABC中，已知a，b和A，解三角形时解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式aba≤b解的个数！！！　无解　###！！！　一解　###！！！　两解　###！！！　一解

3、　###！！！　一解　###！！！　无解　###3．三角形常用的面积公式(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.(　√　)(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.(　×　)(3)已知两边及其夹角求第三边，用余弦定理.(　√　)(4)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　×　)(5)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(　√

4、　)解析　(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知，它们对任意三角形都成立.(2)错误.由正弦定理可知该结论错误.(3)正确.由余弦定理可知该结论正确.(4)错误.当已知三个角时不能求三边.(5)正确.由正弦定理知sinA＝，sinB＝，由sinA>sinB得a>b，即A>B.2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(　B　)A．4　　　B．2C．　　　D．解析　由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝2.3．在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则∠A＝(　C　)A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D

5、．75°解析　∵cosA＝＝＝，又∵0°

6、正、余弦定理解三角形(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长.解析　(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，所以sin∠CAD＝＝＝，sin∠BAD＝＝＝.于是

7、sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BAD·sin∠CAD＝×－×＝.在△ABC中，由正弦定理得，BC＝＝＝3.二　利用正、余弦定理判定三角形的形状利用正、余弦定理判定三角形形状的技巧(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.注意：在两

8、种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.【例2】在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)