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时间:2018-12-16
《2019版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第22讲 正弦定理和余弦定理学案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第22讲 正弦定理和余弦定理考纲要求考情分析命题趋势 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2016·全国卷Ⅰ,172016·四川卷,172016·北京卷,15 正、余弦定理是解三角形的主要工具.高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化.分值:5~12分1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容!!! == ###=2R(R为△ABC外接圆半径)a2=!!! b2+c2-2bccosA ###,b2=!!! a2+c2-2accosB ###,c2=!!! a2+b2-2abcosC ###变形形式a=!!! 2RsinA #
2、##,b=!!! 2RsinB ###,c=!!! 2RsinC ###,sinA=!!! ###,cosA=!!! ###,cosB=!!! sinB=!!! ###,sinC=!!! ###,a∶b∶c=!!! sinA∶sinB∶sinC ###,cosC=!!! ###2.在△ABC中,已知a,b和A,解三角形时解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式aba≤b解的个数!!! 无解 ###!!! 一解 ###!!! 两解 ###!!! 一解 ###!!! 一解 ###!!! 无解 ###3.三角形常
3、用的面积公式(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).(2)S=absinC=acsinB=bcsinA=.(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.( √ )(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.( × )(3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.( √ )(4)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × )(5)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.( √ )解析 (1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任意三角形都成立.(2)错
4、误.由正弦定理可知该结论错误.(3)正确.由余弦定理可知该结论正确.(4)错误.当已知三个角时不能求三边.(5)正确.由正弦定理知sinA=,sinB=,由sinA>sinB得a>b,即A>B.2.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( B )A.4 B.2C. D.解析 由正弦定理得:=,即=,所以AC=×=2.3.在△ABC中,a=,b=1,c=2,则∠A=( C )A.30° B.45° C.60° D.75°解析 ∵cosA===,又∵0°5、°,则此三角形有( B )A.无解 B.两解C.一解 D.解的个数不确定解析 ∵=,∴sinB=·sinA=sin45°,∴sinB=,又∵a6、2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.【例1】如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.解析 (1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD===.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,所以sin∠CAD===,sin∠BAD===.于是sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BAD·sin∠CAD=×-×=.在△ABC中,由正弦定理得,BC===3.二 利用正、余弦定理7、判定三角形的形状利用正、余弦定理判定三角形形状的技巧(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.注意:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.【例2】在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)
5、°,则此三角形有( B )A.无解 B.两解C.一解 D.解的个数不确定解析 ∵=,∴sinB=·sinA=sin45°,∴sinB=,又∵a
6、2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.【例1】如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.解析 (1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD===.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,所以sin∠CAD===,sin∠BAD===.于是sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BAD·sin∠CAD=×-×=.在△ABC中,由正弦定理得,BC===3.二 利用正、余弦定理
7、判定三角形的形状利用正、余弦定理判定三角形形状的技巧(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.注意:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.【例2】在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)
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