2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程学案 新人教a版选修2-1

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1、2.3.1　双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义及焦距的概念.2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点)[基础·初探]教材整理1　双曲线的定义阅读教材P52～P53“探究”以上部分，完成下列问题.把平面内与两个定点F1，F2距离的________等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线，这________叫做双曲线的焦点，________叫做双曲线的焦距.【答案】　差的绝对值　两个定点　两焦点间的距离判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，

4、a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同.(　　)(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若

5、AC

6、－

7、BC

8、＝2，则点C的轨迹是双曲线.(　　)(3)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)×教材整理2　双曲线的标准方程阅读教材P53～P54“例1”以上部分，完成下列问题.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程______(a＞0，b＞0)______(a＞0，b＞0)焦点F1________，F2________F1________，F2________a，b，c的关系c2＝__

9、______【答案】　－＝1　－＝1　(－c,0)　(c,0)　(0，－c)　(0，c)　a2＋b2若方程－＝1表示双曲线，则实数m满足(　　)A.m≠1且m≠－3B.m＞1C.m＜－或m＞D.－3＜m＜1【解析】　因为方程－＝1表示双曲线，而m2＋1＞0恒成立，所以m2－3＞0，解得m＜－或m＞，故选C.【答案】　C[小组合作型]双曲线定义的应用　已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.【精彩点拨】　在△F1PF2中，分析三角形中已有的条件，结合定义和余弦定理可得

10、F1F

11、2

12、、

13、PF1

14、、

15、PF2

16、三者的关系.【自主解答】　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得

17、PF1

18、－

19、PF2

20、＝±6，

21、F1F2

22、2＝

23、PF1

24、2＋

25、PF2

26、2－2

27、PF1

28、

29、PF2

30、cos60°，所以102＝(

31、PF1

32、－

33、PF2

34、)2＋

35、PF1

36、·

37、PF2

38、，所以

39、PF1

40、·

41、PF2

42、＝64，∴S△F1PF2＝

43、PF1

44、·

45、PF2

46、·sin∠F1PF2＝×64×＝16.求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出

47、

48、PF1

49、－

50、PF2

51、

52、＝2a；②利用余弦定理表示出

53、PF1

54、、

55、PF2

56、、

57、

58、F1F2

59、之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出

60、PF1

61、·

62、PF2

63、的值；④利用公式S△PF1F2＝×

64、PF1

65、·

66、PF2

67、sin∠F1PF2求得面积.(2)利用公式S△PF1F2＝×

68、F1F2

69、×

70、yP

71、求得面积.[再练一题]1.已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则

72、PF

73、＋

74、PA

75、的最小值为________.【解析】　由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0).

76、PF

77、－

78、PF1

79、＝2a＝4，即

80、PF

81、＝

82、PF1

83、＋4，所以

84、PF

85、＋

86、PA

87、＝

88、PF1

89、＋

90、PA

91、＋

92、4≥

93、AF1

94、＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时

95、AF1

96、＝＝＝5，所以

97、PF

98、＋

99、PA

100、≥

101、AF1

102、＋4＝9，即

103、PF

104、＋

105、PA

106、的最小值为9.【答案】　9求双曲线的标准方程　根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点P，Q且焦点在坐标轴上；(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上.【精彩点拨】　(1)所求双曲线的焦点位置不确定，怎样求解？(2)已知半焦距时，如何设双曲线的标准方程？【自主解答】　(1)设双曲线方程为＋＝1(mn＜0).∵P，Q两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的方程为－＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝，

107、∴设所求双曲线的方程为－＝1(0＜λ＜6).∵双曲线过点(－5,2)，∴－＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)，∴所求双曲线的方程为－y2＝1.1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值.2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解.[再练一题]2.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5,6)；(2)a＝5，c＝7.【解】　(1)由已知c＝6

108、，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6).由双曲线定义得：2a＝

109、－

110、＝8.∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝20.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)由已知a＝5，c