2018年高考数学 热门考点与解题技巧 考点4 平面向量

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1、考点4平面向量热门题型题型1平面向量的概念及线性表示题型2平面向量基本定理及坐标运算题型3平面向量的数量积题型4平面向量的平行与垂直题型1平面向量的概念及线性表示例1在△ABC中，，若点D满足则=（）A.B.C.D.解析：解法1：=.故选A.【解题技巧】用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：（1）①观察各向量的位置；②利用回路法，寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．（2）也可以利用定比分点，若则.变式1.（2015全国1理7）设为所在平面内一点，，则（）.A．B．C．D．解析由题可得，所以，所以

2、．故选A．变式2.如图5-10所示，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若,其中，则.解法2：特殊化思想。如图，把此平行四边形特殊为正方形，并把点A置于原点，且各边边长为1.则各点坐标为B(1，0)，C(1，1)，D(0,1)，E(,1)，F(1,)，，可得得所以，故.变式3.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则=（）分析结合题意，利用向量的几何表示画出草图，如图5-46所示解法2：特殊化思想。如图所示，由，由，得故题型2平面向量基本定

3、理及坐标运算例2如图所示，在平行四边形ABCD中，M和N分别为DC和BC的中点，已知，，试用，表示和.分析本题若直接用，表示，.有一定的困难，可转化一下角度，用，作为平面的一组基底，表示出，，进而求出，.解析因为M和N分别为DC和BC的中点，所以，，于是有.解得，即，.【解题技巧】注意转化思想在本题中的应用，通过本题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为一组基底，而恰当地选取平面的一组基底，往往可以提高解题效率.变式1．如图所示，

4、

5、＝

6、

7、＝1，

8、

9、＝，∠AOB＝60°，⊥，设＝x＋y.求实数x，y的值．例3

10、点P在AB上，求证：且（，O是AB外一点）.分析如图5-13所示，由于点P在AB上，可知与共线，设=，可利用以点O为起点的向量进行转化.解析因为P在AB上，所以与共线，所以=，故，所以，令，，则且（）.【解题技巧】三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使,其中，O为AB外一点.变式1.在△ABC中，＝2，＝＋λ，则λ＝________．变式2.如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．【解析】注意到N，P，B三点共线，因此有＝m＋＝m＋，从而m＋＝1⇒m＝

11、.题型3平面向量的数量积例4（2017全国1理13）13.已知向量，的夹角为，，，则.解析，所以.【解题技巧】理解掌握向量数量积的几何意义，，.变式1.（2016全国丙理3）已知向量，，则（）A.B.C.D.解析由.又，所以.故选A.变式2.（2016全国甲理3）已知向量，，且，则（）.A.B.C.6D.8解析因为，且，所以，解得.故选D．变式3.（2017山东理12）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是.题型4平面向量的平行与垂直例5．（1）（2015全国2理13）设向量不平行，向量与平行，则实数．（

12、2）（2016山东理8）已知非零向量，满足，.若，则实数的值为（）.A．B．C．D．–解析：（1）根据向量平行的条件，因为向量与平行，所以，则有解得，所以．（2）解析因为，由，所以，即，所以—4.故选B.【高考真题链接】1.（2016北京理4）设是向量，则“”是“”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（2017全国3理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）.A．3B．C.D．23.解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点

13、，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是斜边上的高．，即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，而，，．两式相加得(其中，)，当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得的最大值为3.3.(2017浙江理15)已知向量，满足，，则的最小值是，最大值是.解析解法一：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等

14、的平行四边形，平行四边形．所以．易知当，B，C三点共线时，最小，此时；当时，最大，此时．解法二:4．（2015北京理13）在中，点，满足，.若，则；.解析在中，点满足，点满足，则，因此，.5.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则．将（*）式化简为式①加式②，得．故