考点4平面向量-2018年高考数学热门考点与解题技巧

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1、2018年高考数学热门考点与解题技巧考点4平面向量题型1平面向量的概念及线性表示题型2平面向量基本定理及坐标运算热门题型八题型3平面向量的数量积题型4平面向量的平行与垂直题型1平面向量的概念及线性表示例1在厶ABC小，AB=c,AC=b，若点D满足BD=2DC,则AQ=()A.彩+匕B.-耳+浜C.5丄cD.打+?c33333333解析:2?2I解法—AB+込AB+严=七（1二中+产故选A.c+2b2

2、解法2：因为孔2兀由定比分点线性表示知心吋弓+尹故选A.解法3：特殊化思想：把此三角形特殊为等腰直角三•角形，并把点A置

3、于原点0,且AB二AC二1,则各点坐121221标为:B(l,0),C(0,1)D(?,亍)肓肚+亍"=护+产故选A.【解题技巧】用儿个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：（1）①观察各向量的位置；②利用回路法，寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结（2）也可以利用定比分点,若BD=/LDC(2g/?),则AD=果.变式1.（2015全国1理7）设D为ZiABC所在平面内一点，BC=3CD，则（）•14A.AD=——AB+—AC3314B.AD=-AB——AC331+24141C.AD=-AB+-ACD.A

4、D=-AB——AC3333解析：由题可得BC=AC-AB,所以CD=-BC=-(AC-ABy所以AD=AC-vCD=AC+-(AC-AB=-AC--AB.故选A.3、丿33变式2如图5-10所示，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=其中kpwR、则兄+“=一1一=AB+_AD.2一3一解析：解法1：因为曲=斗(五+走)£「莎+(石+五)]12AE=—(AC+.10)=—1~(AB+AD)+S

5、=—A5+ADAE+〒(、AB+$则22222AC=—AE+—AF,故兄+〃=’©233并把点A置于

6、原点，且各边边长为1•则各点AC=AAE^jliAF.,可得解法2：特殊化思想。如图，把此平行四边形特殊为止方形,坐标为B(1,o),cn,D,d“)，eP),f(T，AC=(l,l)=^(pl)+//(l,

7、)厶厶—+//=1J2〃得2+厶1I2<所以A=-32I3变式3•在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点0,E是线段0D的中点,AE的延长线与CD交于点F,若&eBC=b,则AF=()A.—a—b42C.-a+-b24D.U33分析结合题意，利用向量的几何表示画出草图，如图5-46所示解析：解法1：利用平面几何知

8、识，可得DEFsBEA知，DF:AB=DE:BE=1：3，故DF:FC=1：2,因为DC=OC-OD=—所以DF=-DC=—,故22236AF=AD^DF={AO+OD）+DF=^+—=-a^-b.,故选B.2633解法2：特殊化思想。如图所示，由（?,1）=2（1,1）+“（一1,1）,得艸,2]故心「+分故选B题型2平面向量基本定理及坐标运算例2如图所示，在平行四边形ABCD中，M和N分别为DC和BC的中点，己知AM=c,AN=d，试用c,分析本题若直接用c,d表示AB,AD.有一定的困难，可转化一下角度，用AB,A

9、D作为平面的一组基底，表示出AM,AN,进而求出AB,AD.11[AM=AD^DM解析：因为M和N分别为DC和BC的中点，所以BN=—AD,DM=-ABf丁•是有彳22AN=AB-^BNc=AD+-AB2d=AB+-AD2AB=--c+-d•解得］?f42AD=-c——d33即AB=--c+-d933AD=-c--d.33【解题技巧】注意转化思想在本题中的应用，通过本题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为一组基底，而恰当地选取平面的一组基底，往往可以提高解题效率.―►―►―►—►—►—►—►—►变式1・如图所

10、示，

11、OA

12、=

13、OB

14、=1,

15、0C

16、=a/3,ZA0B=60°,OB丄0C,设OC=xOA+yOB.求实数x,y的值.【解析】过C作CD〃OB,交0A的反向延长线于点D,连接BC,由

17、OB

18、=1,

19、OC

20、=a/5,OB±OC,得ZOCB―►―►―►―►―►=30°.又ZC0D=30°,・・・BC〃OD,A0C=0D+0B=-20A+0B.Ax=-2,y=l.例3点P在AB上，求证：OP=2Q4+mO3I1/1+“=1(入“wR,0是AB外一点).分析如图5-13所示，由于点P在AB±,可知AP与4B共线，设AP=MB,可

21、利用以点0为起点的向量进行转化.解析：因为P在AB上，所以AP与共线，所以AP=(AB,故OP—OA=t(OB-OA)1所以OP=OA+tOB-tOA=(-t}OA^tOB,令1—T,t=p,则OP=/IQ4+“O3冃.兄+“=1（入“w/?）.【解题技巧1三点共线定理：A,B,P三点共线的充要条件是：存在实数入“