高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2　椭圆同步精品学案 新人教a版选修2

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1、§2.2　椭　圆典例剖析知识点一　椭圆定义的应用　如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)内一点A，F1为左焦点，在椭圆上求一点P，使

2、PF1

3、＋

4、PA

5、取得最值．解　设F2为椭圆的右焦点，且直线AF2与椭圆相交于P1、P2两点，点M是不同于点P1、P2的椭圆上的任意一点．根据椭圆的定义知：

6、P1F1

7、+

8、P1F2

9、=2a，所以

10、P1F1

11、+

12、P1A

13、=

14、P1F1

15、+

16、P1F2

17、+

18、F2A

19、=2a+

20、F2A

21、.①在△AMF2中，

22、MA

23、<

24、MF2

25、＋

26、F2A

27、.所以

28、MF1

29、＋

30、MA

31、<

32、MF1

33、＋

34、MF2

35、＋

36、F2A

37、

38、.因为M是椭圆上任意一点，所以

39、MF1

40、＋

41、MF2

42、＝2a，所以

43、MF1

44、＋

45、MA

46、<2a＋

47、F2A

48、.②由式①、②知

49、MF1

50、＋

51、MA

52、<

53、P1F1

54、＋

55、P1A

56、.

57、P2F1

58、＋

59、P2A

60、＝

61、P2F1

62、＋

63、P2F2

64、－

65、AF2

66、＝2a－

67、F2A

68、.而在△AMF2中，

69、MA

70、>

71、MF2

72、－

73、F2A

74、，所以

75、MF1

76、＋

77、MA

78、>

79、MF1

80、＋

81、MF2

82、－

83、F2A

84、＝2a－

85、F2A

86、，所以

87、MF1

88、＋

89、MA

90、>

91、P2F1

92、＋

93、P2A

94、.由以上可知，点P1是使

95、PF1

96、＋

97、PA

98、取得最大值的点，而点P2是使

99、PF1

100、＋

101、P

102、A

103、取得最小值的点．知识点二　求椭圆的标准方程　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．(2)经过点A(，)，B(0，－)．(1)解　方法一　椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆定义知：2a＝＋＝10，所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为＋＝1.方法二　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为c＝4，所以a2－b2＝c2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以＋＝1，所以a2＝25，所

104、以b2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，设标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有解得又因为a>b，所以该方程组无解．②当椭圆焦点在y轴上时，设标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有解得所以方程为＋＝1.综上知，所求椭圆的标准方程为：＋＝1.方法二　设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，依题意有解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，即其标准方程为＋＝1.知识点三　根据方程研究几何性质　求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴、短轴、离心

105、率、焦点坐标和顶点坐标．解　将方程变形为＋＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a＝10,2b＝8，离心率e＝＝，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．知识点四　根据几何性质求方程　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是.(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝6，a＝3.e＝＝，∴c＝2.∴b2＝a2

106、－c2＝9－4＝5.∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.(2)设椭圆方程为(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且

107、OF

108、=c，

109、A1A2

110、=2b，∴c=b=3，∴a2=b2+c2=18，故所求椭圆的方程为,知识点五　求椭圆的离心率　如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．解　方法一　设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b

111、)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中：

112、F1F2

113、2+

114、MF2

115、2=

116、MF1

117、2，即4c2+b2=

118、MF1

119、2.而

120、MF1

121、+

122、MF2

123、=整理得3c2=3a22ab.又c2=a2b2，所以3b=2a.所以，所以所以e=知识点六　直线与椭圆的位置关系问题　当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离．解　由题意，得①代入②，得9x2＋16(x＋m)2＝144，化简，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－57

124、6m2＋14400.当Δ＝0时，得m＝±5，直线l与椭圆相切．Δ>0时，得－55，直线l与椭圆相离．知识点七　中点弦问题已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求l的方程．解　设l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减，得kAB＝＝－＝－＝－.∴