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《2018年高中数学圆锥曲线与方程2.2椭圆学案新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2 2．2．1 椭圆及其标准方程预习课本P38～42，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？ 2．椭圆的标准方程是什么？ 1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[点睛] 定义中的条件2a>
4、F1F2
5、>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当2a＝
6、F1F2
7、时，其轨迹为线段F1F2；②当2a<
8、F1F2
9、时，其轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1
10、(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得
11、PQ
12、＝
13、PF2
14、，则动点Q的轨迹为圆( )(3)方程＋＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为( )A．1 B．2C．4D．6答案：C3．椭圆＋
15、＝1的焦点坐标是________．答案：(0，±12)求椭圆的标准方程[典例] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9．故所求椭圆的标准方程为＋＝1．(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⇒故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1．
16、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－)，；(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．解：法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得则a2b>0矛盾
17、，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1．法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．①又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1．②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．椭圆的定义及其应用[典例] 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求
18、△PF1F2的面积．[解] 由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，
19、F1F2
20、＝2c＝2．在△PF1F2中，由余弦定理，得
21、PF2
22、2＝
23、PF1
24、2＋
25、F1F2
26、2－2
27、PF1
28、·
29、F1F2
30、·cos120°，即
31、PF2
32、2＝
33、PF1
34、2＋4＋2
35、PF1
36、．①由椭圆定义，得
37、PF1
38、＋
39、PF2
40、＝4，即
41、PF2
42、＝4－
43、PF1
44、．②将②代入①解得
45、PF1
46、＝．所以S△PF1F2＝
47、PF1
48、·
49、F1F2
50、·sin120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是．(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体．(2)涉及焦点三角形面积时，可把
51、PF1
52、
53、，
54、PF2
55、看作一个整体，运用
56、PF1
57、2＋
58、PF2
59、2＝(
60、PF1
61、＋
62、PF2
63、)2－2
64、PF1
65、·
66、PF2
67、及余弦定理求出
68、PF1
69、·
70、PF2
71、，而无需单独求解． [活学活用] 设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且
72、PF1
73、－
74、PF2
75、＝2．则△PF1F2是( )A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选B 由椭圆的定义得
76、PF1
77、＋
78、PF2
79、＝8．又
80、PF1
81、－
82、PF2
83、＝2，∴
84、PF1
85、＝5，
86、PF2
87、
