高中数学《幂函数》学案6 苏教版必修1

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1、幂函数【学习导航】知识网络学习要求1．了解幂函数的概念，能画出一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征；2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养．自学评价1．幂函数的性质：（1）都过点；（2）任何幂函数都不过第四象限；（3）当时，幂函数的图象过原点．2．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关

2、于原点对称．【精典范例】例1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）（2）（3）（4）（5）分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．【解】（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，在上单调递减．（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．点评:熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．例2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）（2）（3）分析：（1）底数相异，指数相同的

3、数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了．（2）观察发现，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小．【解】（1）（2）（3）点评:比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例3：已知的图象如图所示：xy011则，，，的大小关系是：分析：对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：正抛物负双曲，大竖直小横铺．即

4、【解】有幂函数的性质，当自变量时，幂指数大的函数值比较大，故有点评:幂函数在第一象限内的图象均过点，在区间上，值越小，图象越靠近轴．追踪训练一1.图中曲线是幂函数在第一相限的图象，已知取，四个值，则相应与曲线、、、的值依次为（B），，，，，，，，，，，，2.给出下列四个函数：；；；，其中定义域和值域相同的是（2）（3）（写出所有满足条件的函数的序号）3.比较下列几组数大小（1），，；（2），，．解：（1）∵幂函数在上单调递增，且，∴；（2），，，∵幂函数在上单调递减，且，，∴即．【选修延伸】一、幂函数性质的运用例4:已知，求的取值范围．分析：数形给合思想的运用．由于不等式的左右

5、两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解．【解】因为在和上为减函数，时，；时，．原不等式可以化为（1）（2）（3）（1）无解；（2），（3）所以所求的取值范围为{}点评:利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式．二、幂函数图象的性质特征例5：已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合，便可逐步确定的值．【解】∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．点评:掌握幂函数图象的特征，是顺利解题的关键

6、．思维点拔：（1）比较同指数幂的大小，利用幂函数的单调性；（2）根据幂函数的图象，判断指数的大小，或根据幂函数的指数的大小，描述其图象的特征；（3）判断幂函数的奇偶性，宜先将分数指数化为根式的形式．追踪训练二1．设满足，下列不等式中正确的是（C）A．B．C．D．2．函数在第二象限内单调递增，则的最大负整数是．3．求函数的值域．答案：