高中数学 29《幂函数》学案 苏教版必修1

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1、第29课时幂函数（1）【学习目标】1．了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3．进一步体会数形结合的思想．【课前导学】【问题情境】分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为的正方形面积，是的函数；（2）面积为的正方形边长，是的函数；（3）边长为的立方体体积，是的函数；（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数.上述五个函数都可以写成的形

2、式．【课堂活动】一．建构数学：【定义】一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．【试试】判断下列函数哪些是幂函数：①；②；③；④．注意：幂函数与指数函数的区别．例1写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性，并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？　　⑴　y＝；⑵　y＝；⑶　y＝；⑷　y＝．【思路分析】分数指数幂可以与根式相互转化．把各函数解析式先化成根式形式即可．解：⑴；⑵；⑶y=；⑷．函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．⑴的定义域为，⑵⑶⑷的定义域都是R；其中⑴既不是奇函数也不是偶函数，⑵⑷是奇函数，⑶

3、是偶函数．它们的图象都经过点和，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在单调递增．例2仿照例1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？　　⑴　y＝x－1；⑵　y＝x－2；⑶　y＝；⑷　y＝．【思路分析】先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式．解：⑴；⑵；⑶；⑷．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；⑴⑵⑷的定义域都是，⑶的定义域是；根据函数奇偶性的定义可得⑴⑷是奇函数，⑵是偶函数，⑶既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点，且在第一象限内函数图象自左向右呈下降趋势，并且以两坐标轴为渐近线．

4、反应出这些函数在上单调递减．【解后反思】通过例1和例2的解决过程，体现数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识．【探究】幂函数的图象与性质【问题】作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．从图象分析出幂函数所具有的性质.解：图像略．观察图象，总结填写下表：定义域值域奇偶性单调性定点【拓展】通过以上例子试总结幂函数的一般性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）．特

5、别地，当＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当0<α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）．（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.二．应用数学：例3讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性与单调性：⑴；（2）．【思路分析】根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性、单调性．解：⑴y＝x5的定义域是(－∞，＋∞)，值域也是(－∞，＋

6、∞)，是奇函数，∵5＞1，∴y＝x5在(－∞，＋∞)上是增函数．⑵∵y＝x＝，∴定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，是偶函数，∵－＜0，∴y＝x在(－∞，0)是增函数，在(0，＋∞)，是减函数．【解后反思】由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提升．例4比较下列各题中两个值的大小．⑴(－1.5)与(－1.7)　⑵3.14与π⑶(－5)与(－6)⑷3与2【思路分析】比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间．【解法】⑴考察函数y＝x，∵＞0，∴y＝x在(－∞，0)上是减函数．又∵－1.5＞－1.7，　∴(－1.5)＜(－1.7

7、)．⑵考察函数y＝x，∵－＜0∴y＝x在(0，＋∞)上是减函数．又∵3.14＜π，∴3.14＞π．⑶(－5)＝－5，(－6)＝－6，又5＞6　∴－5＜－6，∴(－5)＜(－6)．⑷∵3＝9，2＝8，又9＞8∴3＞2．【解后反思】学生学习了幂函数以后,关键还在于对其性质要会灵活运用,例4是做一个基本的铺垫．三．理解数学：1．求函数的定义域．答案：2．已知是幂函数，求m，n的值.解：由题意可得：m2+2m–2=1且2n–3=0，解得或，．【解后反思】表达式y=(x∈R)的要求比较严格，系数为1，底数是x，∈R为常数，如，y=1=x0为幂函数，而如y=2x2

8、，y=(x–1)3等都不是幂函数.3．比例下列各组数的大小：（1）；（2）(–2)–3和(–2