高中数学《构成空间几何体的基本元素》学案1 新人教b版必修2

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1、空间几何体的表面积与体积要点精析一、学习目标1．掌握棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台侧面展开图的形状，会求它的侧面积和其表面积；2．掌握棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台的侧面积与体积公式之间的联系与区别，并熟悉它们之间的转化关系．3．了解球的体积公式和表面积公式的推导方法，即“分割——求近似和——化成准确值”的基本方法，掌握球的体积、表面积公式并灵活运用．二、知识网络柱、锥、台体三者之间存在着特定的联系．柱、锥、台的侧面积与体积公式都可以同台体的侧面积和体积公式统一起来：当=时，；当=0时，；当=时，；当=0时，．其中、分别是正棱台的上、下底面的周长，、分别是正棱台上

2、下底的面积．三、要点梳理Ⅰ、空间几何体的表面积1．棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．⑴因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的周长与高分别为长和高的矩形．如果设直棱柱底面周长为c，高为h，则侧面积=ch．⑵若长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则其表面积=2(ab＋bc＋ca)．2．圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的高是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长．如果设圆柱母线的长为，底面半径为r，那么圆柱的侧面积=，此时圆柱底面面积=．所以圆柱的表面积=＋=＋=．3．圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如

3、果设圆锥底面半径为r，母线长为，则侧面积=，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为S=＋=＋=．4．正棱锥的侧面展开图是n个全等的等腰三角形．如果设正棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高为，则它的侧面积=．而棱锥的表面积等于侧面积与底面积的和．5．正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是、，斜高是，那么它的侧面积是=．棱台的表面积等于它的侧面积与上、下底面的和．6．圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为、，母线长为，那么它的侧面积是=(＋)．圆台的

4、表面积等于它的侧面积与上、下底面的和，即S=＋＋=(＋)＋＋=[＋＋＋]．7．将球以球心为顶点切割成n个部分，每部分近似地看成是锥体，其高近似地看成球的半径R，所有的底面面积之和近似地看成为球面面积，当“n∞”时，其体积之和极限即为球的体积．由V==·，求得球的表面积S=．即球的表面积等于其大圆面积的四倍．Ⅱ、空间几何体的体积1．柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积．即=Sh．其中底面半径是r，高是h时的圆柱的体积是：=．2．如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S，高是h，那么它的体积是：=Sh．其中底面半径是r，高是h时的圆锥的体积是：=．就是说，锥体的体

5、积是其同底等高柱体体积的．3．如果台体(棱台、圆台)的上下底面积分别是、，高是h，那么它的体积是：=(＋＋)h．其中圆台的上、下底半径分别是、，高是h时的体积是：=(＋Rr＋R)h．4．将半球用平行大圆的平面均匀切成n个部分，分别求其体积(每部分近似地看成圆柱)，而后求和，用正整数平方和公式整理，即用“无限分割、求和，取极限”的方法求得球的体积公式．四、特别提示：1．底面积相等并且高也相等的两个柱体(棱柱、圆柱)的体积相等；底面积相等并且高也相等的两个锥体(棱锥、圆锥)的体积相等．2．对于斜棱柱，它的侧面展开图是由若干个平行四边形组成的不规则的图形，因此，斜棱柱的侧面积可

6、通过分析侧面的形状逐个求得，或者用直截面(即垂直于侧棱的截面)的周长乘以侧棱长求得．斜棱柱的体积可用直截面面积与侧棱长乘积求得．3．锥体的体积计算，在立体几何体积计算中，占有重要的位置，它可补成柱体，可置换底面、置换顶点，在计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程简化．