高中数学第1章算法初步1.4算法案例教材梳理导学案苏教版必修3

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1、1.4算法案例庖丁巧解牛知识·巧学1．几个常用函数符号求余函数Mod(m,n)：Mod(m,n)表示取m除以n的余数.如：m被3除余2，可表示为Mod(m,3)=2.取整函数Int(x):表示取不大于x的最大整数.如：Int(2)=2,Int(2.3)=2,Int(2.6)=2.误区警示不要与四舍五入相混淆Int(-2.3)=-3.可用mInt(m/n)*n表示m除以n的余数，如m被3除余2，可表示为mInt(m/3)*3=2.2．算法典型案例案例1：韩信点兵——孙子问题《孙子算经》中载有“物不知数”这个问题:今有物不知其数,三三数

2、之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？答曰“二十三”.这就是著名的孙子问题(记载于中国古代约公元3世纪成书的《孙子算经》,是原书卷下第26题).这个问题可以简单地用一句话描述，即“一个正整数，被3，5，7除，余数分别为2，3，2”.设这个数为m，则可列关于x,y,z的方程组表示：联想发散这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法．秦九韶给出了理论上的证明，并将它定名为“大衍求一术”.这个问题的通用解法称为“中国剩余定理”.秦九韶（公元1202—1261年），南宋数学家，著《数书九章》十八卷．全书共81道题，分为九大类

3、：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类.其中对“大衍求一术”（一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）等有十分深入的研究.“大衍求一术”，在世界数学史上占有崇高的地位.计算机解决：从2开始，让m依次去除，直到满足要求为止.这样，只要使用循环，由小到大依次搜索，直到找出满足条件的数即可.流程图如图1-4-1：图1-4-1案例2：辗转相除法求最大公约数辗转相除法又称欧几里得算法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到

4、余数为零，此时的除数就是所求两数的最大公约数.误区警示这是一个反复执行的步骤，要用循环结构实现.注意循环条件的设置，此处可用直到型循环，条件为r=0，对于循环体部分，需要反复执行的是r=mMODn.要实现上述算法，在重复执行之前，要对m，n的两个变量重新赋值（m=n，n=r），注意体会理解该递归思想.（1）算法步骤：以求正整数m，n（m＞n）的最大公约数为例.第一步：输入两个正整数m，n（m＞n）；第二步：判断m,n的大小，让m表示较大的数，n表示较小的数；第三步：计算m/n的余数r；第四步：如果r≠0，那么把n赋值给m，把r赋值给

5、n，返回第二步；否则，执行下一步；第五步：输出最大公约数m.（2）流程图如图1-4-2图1-4-2伪代码如下：m←2WhileMod(m,3)≠2或Mod(m,5)≠3或Mod(m,7)≠2m←m+1EndWhilePrintm更相减损术更相减损术是中国古代算书《九章算术》中的一个优秀算法；更相减损术可以求最大公约数：对于给定的两个数，以其中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反复执行以上步骤直到差数与较小的数相等，此时相等的两数即为所求的最大公约数，最后该最大公约数再乘以2即为所求.学法

6、一得所求两数都是偶数时，可先除以2，再求除以2后两数的最大公约数.（1）算法步骤：以求正整数m,n的最大公约数为例，第一步：输入两个正整数m,n(m＞n)；第二步：r←m-n;第三步：如果r

7、x2］内方程f(x)=0至少有一个根.二分法是说：如果在区间［x1,x2］内f(x)=0仅有一个根x，则可以取x1与x2的中点x3=(x1+x2)/2进行判断，若f(x3)与f(x1)异号，说明有一个根在区间［x1,x3］中，否则在区间［x2,x3］中.然后按上述方法逐渐缩小有根区间，从而逼近方程f(x)=0的根.当有根区间小到一定程度时，把这个区间的中点的x值当作方程的近似根.用二分法设计求方程f(x)=0的近似根算法的基本步骤：（1）确定近似根所在的基础区间［a,b］和近似根的精确度c；（2）求有根区间的中点,判断是否满足精度要

8、求；（3）求区间端点的函数值f(a),f(b)；（4）判断f(a)f(b)的符号，改变有根区间的下限或上限；（5）循环求近似根；（6）输出根的近似值.进位制进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的