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《高中数学第1章算法初步1.4算法案例互动课堂学案苏教版必修3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.4算法案例互动课堂例1求1734,816,1343的最大公约数.【分析】三个数的最大公约数分别是每个数的约数,因此也是任意两个数的最大公约数的约数,也就是说三个数的最大公约数是其中任意两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数.【解】用“辗转相除法”.先求1734和816的最大公约数,1734=816×2+102；816=102×8；所以1734与816的最大公约数为102.再求102与1343的最大公约数,1343=102×13+17；102=17×6.所以1343与102的最大公约数为17,即1734,816,1343的最大公约数为17.【点评
2、】求两个正整数a、b（a＞b）的最大公约数,可以归结为求一数列：a,b,r1,r2,…,rn-1,rn,rn+1,0,此数列的首项与第二项是a和b,从第三项开始的各项,分别是前两项相除所得的余数,如果余数为0,它的前项rn+1即是a和b的最大公约数,这种方法叫做“欧几里得辗转相除法”.例2猴子吃桃问题：有一堆桃子不知数目,猴子第一天吃掉一半,觉得不过瘾,又多吃了一只,第二天照此办法,吃掉剩下桃子的一半另加一个,天天如此,到第十天早上,猴子发现只剩一只桃子了,问这堆桃子原来有多少个？【分析】此题粗看起来有些无从着手的感觉,那么怎样开始呢？假设第一天开始
3、时有a1只桃子,第二天有a2只,…,第9天有a9只,第10天有a10只.在a1,a2,…,a10中,只有a10=1是知道的,现要求a1,而我们可以看出a1,a2,…,a10之间存在一个简单的关系：a9=2×（a10+1）,a8=2×（a9+1）,…a1=2×（a2+1）.也就是：ai=2×（ai+1+1）,i=9,8,7,6,…,1.这就是此题的数学模型.再考查上面从a9,a8直至a1的计算过程,这其实是一个递推过程,这种递推的方法在计算机解题中经常用到.另一方面,这九步运算从形式上完全一样,不同的只是ai的下标而已.由此,我们引入循环的处理方法,并
4、统一用a0表示前一天的桃子数,a1表示后一天的桃子数.【解】本题的算法如下：第一步：a1←1；｛第10天的桃子数,a1的初值｝第二步：i←9；｛计数器初值为9｝第三步：a0←2×（a1+1）；｛计算当天的桃子数｝第四步：a1←a0；｛将当天的桃子数作为下一次计算的初值｝第五步：i←i-1；第六步：若i≥1,转第三步；第七步：输出a0的值.伪代码如下：a1←1i←9Ifi≥1Thena0←2×（a1+1）a1←a0i←i-1EndIfPrinta0流程图如下图所示：【点评】这类题的解法是一个从具体到抽象的过程,具体方法是：（1）弄清如果由人来做,应该采
5、取哪些步骤；（2）对这些步骤进行归纳整理,抽象出数学模型；（3）对其中的重复步骤,通过使用相同变量等方式求得形式的统一,然后简练地用循环解决.例3古今中外,许多人致力于圆周率的研究与计算.为了计算出圆周率的越来越好的近似值,一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血.我国东汉的数学家刘徽利用“割圆术”计算圆的面积及圆周率π.“割圆术”被称为千古绝技,它的原理是用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积,具体计算如下：在单位圆内作内接正六边形,其面积记为A1,边长记为a1,在此基础上作圆内接正12边形,面积记为A2,边长为a2…一直作下去,记该圆的内
6、接正6×2n-1边形面积为An,边长为an.由于所考虑的是单位圆,计算出的An即为圆周率π的近似值,n越大,An与π越接近.你能设计这样计算圆周率的一个算法吗？【分析】应首先推导出an,an-1,An,An-1的关系.如右图所示,设PQ为圆内接正6×2n-1边形的一边,即PQ=an-1,OR为与PQ垂直的半径,R为PQ弧的平分点,显然PR=an.a1=1,an=PR==（n=2,3,4）,A1=6××1×=,An=6×2n-1××
7、OR
8、
9、PT
10、=3×2n-2an-1（n=2,3,4）.通过上面两式,从a1=1开始进行迭代,可逐步计算出an与An.由
11、于所考虑的是单位圆,计算出的An即为圆周率π的近似值,n越大,An与π越接近.算法和流程图如下：Readn1←aForIFrom2TonA←3×2n-2×aa←Sqrt［2-2×Sqrt［1-a2/4］］EndForPrintI,A,a流程图（如下图所示）：例4据我国古书《唐阙史》记载,公元855年前后,有一次,青州府要从两个办事员中选拔一人当官,但是这两个办事员的职务、资历、能力和成绩,表现并无显著的差异,而名额只有一个,提升谁？负责提升的官员感到十分为难,就去请教青州的地方官杨埙.杨埙考虑了很久,想出了一个主意,他说：“官员应该能写会算,你把他们
12、叫来,我出一道题当场考考他们,谁先算出就提升谁.”同时,杨埙让人把他出的题抄成两份,负责提升的官员找来两位办
