高中数学第1章解三角形章末分层突破学案苏教版必修5

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1、第1章解三角形章末分层突破[自我校对]①2RsinA　②2RsinB　③2RsinC④sinA∶sinB∶sinC⑤两角与任一边⑥两边与其中一边的对角⑦　⑧⑨　⑩三边⑪两边与它们的夹角　⑫高度⑬距离　⑭角度　⑮三角形面积__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2、__________________________　利用正、余弦定理解三角形解三角形的类型及一般方法：(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π，求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意可能有多种解的情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.　在△ABC中，角A，B，C的对边分

3、别为a，b，c，且满足(2a－b)cosC＝ccosB，△ABC的面积S＝10，c＝7.(1)求角C；(2)求a，b的值．【精彩点拨】　由正弦定理及三角恒等变换求(1)；结合余弦定理求(2)．【规范解答】　(1)∵(2a－b)cosC＝ccosB，∴(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，2sinAcosC－sinBcosC＝cosBsinC，即2sinAcosC＝sin(B＋C)，∴2sinAcosC＝sinA.∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosC＝，∴C＝.(2)由S＝absinC＝10，C＝，得ab＝40.①由余弦定理得c2＝a

4、2＋b2－2abcosC，即c2＝(a＋b)2－2ab，∴72＝(a＋b)2－2×40×，∴a＋b＝13.②由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.[再练一题]1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.【解】　(1)由正弦定理，得asinB＝bsinA，又asinAsinB＋bcos2A＝a，∴bsin2A＋bcos2A＝a，即b＝a，因此＝.(2)由c2＝b2＋a2及余弦定理，得cosB＝＝，(*)又由(1)知，b＝a，∴b2＝2a2，因此c2＝(2＋)a2

5、，c＝a＝a.代入(*)式，得cosB＝，又0＜B＜π，所以B＝.判断三角形的形状判断三角形的形状，主要有两种方法：方法一：将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边之间的相应关系，从而判断三角形的形状．方法二：将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角之间的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用“A＋B＋C＝π”这个结论．在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解．　已知△ABC中，sinA＝，试判断△ABC的形状．【精彩点拨】　若化A＝180°－(B＋C)，利用三角变换

6、较为繁琐，因而可考虑利用正、余弦定理化为边的关系，利用三角恒等变形进行求解．【规范解答】　由正弦定理和余弦定理，得＋＝，∴b＋c＝＋，∴＝，∴＝，∴(b2＋c2－a2)＝0.∵＋≠0，∴b2＋c2－a2＝0，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．[再练一题]2．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．【解】　由余弦定理知cosA＝，cosB＝，cosC＝，代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－

7、b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形.正、余弦定理在实际中的应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，解决的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．　如图11所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB为20m，求山高CD.(精确到0.1m)图11【精彩点拨】　CD可放

8、到△BCD中，要求CD，已知∠DBC＝60°，∠CDB＝90°，所以只需求BD或