高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案新人教b版选修2

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1、2.1　曲线与方程1．了解曲线与方程的对应关系．2．了解两条曲线交点的求法．3．了解用坐标法研究几何性质．4．掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质．1．点的轨迹方程一般地，一条曲线可以看成________________的轨迹，所以曲线的方程又常称为____________的点的轨迹方程．【做一做1】到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是(　　)A．x－y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝02．曲线的方程与方程的曲线的定义(1)在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F

2、(x，y)＝0之间具有如下关系：①__________________________________；②__________________________________.那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关系①和②缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的．从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则由关系①可知A⊆B

3、，由关系②可知B⊆A；若同时具有关系①和②，就有A＝B.(2)曲线C用集合的特征性质描述法，可以描述为C＝{M(x，y)

4、F(x，y)＝0}．【做一做2】下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是(　　)A．y＝与x＝y2B．y＝x与＝1C．＝与x2－y2＝0D．y＝lgx2与y＝2lgx3．两曲线的交点已知两条曲线C1：F(x，y)＝0和C2：G(x，y)＝0，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组的________就可以得到．曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题，那么，解二元方程组的一切思路方法和相关知识，

5、都是求两曲线交点的基本依据和方法．【做一做3】曲线y＝x2＋1和y＝x＋m有两个不同的交点，则(　　)A．m∈RB．m∈C．m＝D．m∈1．曲线与方程的定义的理解剖析：(1)定义中的第①条“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)．(2)定义中的第②条“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(3)定义的实质是平面曲线的点集{M

6、p(M)}和方程F(x，

7、y)＝0的解集{(x，y)

8、F(x，y)＝0}之间的一一对应关系，由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以由曲线求它的方程．2．曲线方程的求法剖析：求曲线的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M︱p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；(4)化方程F(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步

9、骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤(2)，直接列出曲线方程．题型一曲线与方程的概念【例1】若曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是(　　)A．曲线C的方程是F(x，y)＝0B．方程F(x，y)＝0的曲线是CC．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上反思：(1)判定曲线与方程的对应关系有两种方法：等价转换和特值讨论．它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性．(2)处理“曲线与方程”的概念题，可采

10、用直接法，也可采用特值法．题型二曲线方程的求法【例2】已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心G的轨迹方程．分析：在这个问题中，动点C与点G之间有关系，写出C与G之间的坐标关系，并用G的坐标表示C的坐标，然后代入C的坐标所满足的关系式中，化简整理即得所求．【例3】长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，求动点C的轨迹方程．分析：A，B分别在x，y轴上移动，可设A(x0,0)，B(0，y0)，又动点C(x，y)满足＝2

11、，代入即可得方程．反思：求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律，并利用坐标把这种规律翻译成代数方程．1方程x2＋xy＝x表示的曲线是(　　)A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线2已知方程2x2－xy＋1＝0表示的图形为C，则下列点不在C上的为(　　)A．B．(－3,5)C．D．3在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝