高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法知识导学案新人教a版选修4

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1、一比较法知识梳理1.比较法的种类比较法一般分为两种:_________和_________.2.作差比较法(1)作差比较法的证明依据:___________________.(2)基本步骤:①_________;②_________;③_________;④_________.3.作商比较法(1)作商比较法的证明依据:___________________.(2)基本步骤:①_________;②_________;③_________;④_________.知识导学比较法是证明不等式的最基本,最重要的方

2、法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用.在其一般步骤中,变形是证明推论中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断等号或分子分母的大小关系,而不是考虑变形后的表达式能否化简或值是多少.变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.一般地,证明幂,指数不等式时常用“商值比较”法,证明对数不等式时常用“差值比较法”.当“差”或“商”式中含有参数时,一般情况下都要对参数的取值进行分析,应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助于函数的单调性.疑难突破1.比较大小关

3、系的一般方法在比较大小关系的问题中,很多情况下是可以直接作差或作商比较的,但是为了得到准确的结果,可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预猜,这样在比较的过程中,不会因为疏忽或其他原因造成结果的错误,尤其是在多个数或数学式比较大小时,为避免两两比较的烦琐,可以提前预测,再进行比较.还有一类较为特殊的比较大小问题,如数列问题中,两个数或数学式的大小可能会随一些变量或参数的不同范围而发生变化,这就要注意对相关问题的讨论,大小关系一定或不一定,是首先应判断的.2.作商比较法中的符号问题在作商比较法中,>1b>

4、a是不正确的,这与a,b的符号有关,比如若a,b>0,由>1,可得b>a,但若a,b<0,则由>1得出的反而是b

5、∵()-()=<0,∴.证法二:<1,又>0,>0,∴原不等式成立.黑色陷阱：证法一中,不施行有理化,误认为>0,同样,在证法二中,误以为.排除思维障碍的方法是要对不等式进行严格的论证.另外,根据左,右两边都含无理号的特点,也可以采取两边平方的方法来比较,但是应先判断两边的符号,都大于0时,两边平方是等价变形,否则要改变不等号.【变式训练】设a>b>0,求证:>.思路分析：可用作差比较法或作商比较法进行证明.证法一:-==>0,所以原不等式成立.证法二:>1.∴原不等式成立.【例2】(经典回放)设a+b>

6、0,n为偶数,求证:≥+.思路分析：注意到不等式两边的幂的结构,作差后,有公因式,即可化为几个因式相乘,即而可判断等号.证明：--=,当a>0,b>0时,(an-bn)(an-1-bn-1)≥0,(ab)n>0.所以≥0.故-n≥+.当a,b有一个为负值时,不妨设a>0,b<0,且a+b>0,所以a>

7、b

8、,又n为偶数.所以(an-bn)(an-1-bn-1)>0.又(ab)n>0,故>0.即>+.综上,可知原不等式成立.黑色陷阱：本题极易造成以下错解:∵--=,又n为偶数,∴(ab)n>0,又an-bn

9、和an-1-bn-1同号.∴-->0.故>+.错误的原因是:n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里忽略了在题设条件a+b>0的情况下,应分a>0,b>0和a,b有一个负值两种情况加以讨论.【变式训练】已知a,b∈R+,n∈N+,求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).思路分析：本题可以用作差比较法,但差式中a,b的大小关系需要讨论.证明:∵(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1=a(bn-an)+

10、b(an-bn)=(a-b)(bn-an).(1)若a>b>0时,bn-an<0,a-b>0,∴(a-b)(bn-an)<0.(2)若b>a>0时,bn-an>0,a-b<0,∴(a-b)(bn-an)<0.(3)若a=b>0时,(bn-an)(a-b)=0,综上(1)(2)(3)可知,对于a,b∈R+,n∈N*,都有(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).【例3】(2005山东高考,21)已知数列{an}的首项a