高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法学案新人教a版选修4

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1、一　比较法1．理解作差比较法和作商比较法．2．用比较法证明不等式．1．比较法的种类比较法一般分为两种：____________和____________．2．作差比较法(1)作差比较法的证明依据：__________.(2)基本步骤：①______；②______；③__________；④________.用作差比较法证明不等式时，要判断不等式两边差的符号，对不等式两边求差后，要通过配方、因式分解、通分等，对所得代数式进行变形，得到一个能够明显看得出其符号的代数式，进而得出证明．【做一做1－1】当a＜b＜0时，下列关系式中成立的是(　　)A.＜B．

2、lgb2＜lga2C.＞1D．＞【做一做1－2】若P＝，Q＝－，R＝－，则P，Q，R的大小关系是(　　)A．P＞Q＞RB．P＞R＞QC．Q＞P＞RD．Q＞R＞P3．作商比较法(1)作商比较法的证明依据：____________(2)基本步骤：①______；②______；③______________；④________.【做一做2－1】比较大小：log34__________log67.【做一做2－2】比较大小：________.答案：1．作差比较法　作商比较法2．(1)(2)作差　变形　判断符号　下结论【做一做1－1】　B　方法1：取特殊值a＝

3、－4，b＝－1，则知选项A，C，D不正确，选项B正确，故选B；方法2：∵a＜b＜0，∴a2＞b2.而函数y＝lgx(x＞0)为增函数，∴lgb2＜lga2，B项正确．【做一做1－2】　A　∵＋＝2＞，∴＞－，即P＞Q；又∵＋＞＋，∴－＞－，即Q＞R.∴P＞Q＞R.3．(1)当b＞0时，(2)作商　变形　判断与“1”的大小　下结论【做一做2－1】　＞　设log34＝a，log67＝b，则3a＝4,6b＝7，得7×3a＝4×6b＝4×2b×3b，即3a－b＝，由log67＝b可知，b＞1，所以2b＞2，则3a－b＝＞1，所以a－b＞0，即a＞b，即log

4、34＞log67.【做一做2－2】　＞　＝＝，又∵＞＝1，∴＞1.∴＞.1．作差比较法证明不等式的一般步骤剖析：(1)作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差．(2)变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方和等等．(3)判断符号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号．(4)结论：肯定不等式成立的结论．若差式的符号不能确定，且与某些字母的取值有关时，需对这些字母进行讨论．2．作商比较法中的符号问题的确定剖析：在作商比较法中，＞1b＞a是不正确的，这与a，b的符号有关，比如若a，b＞0，

5、由＞1，可得b＞a，但若a，b＜0，则由＞1得出的反而是b＜a，也就是说，在作商比较法中，要对a，b的符号作出判断．否则，结论将是错误的．对于此类问题，可分为含参数变量类的和大小固定的，因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程．使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值，若均为负值时，可先同乘以－1，转化后再进行证明．题型一利用作差比较法证明不等式【例1】已知a≥1，求证：－＜－.分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明．反思：根据左、右两边都含无理式的特点，也可以采取

6、两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号．又因为a≥1，所以不等式两边都大于0，故还可以用作商比较法进行证明．题型二利用作商比较法证明不等式【例2】已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.分析：因为a，b均为正数，故而不等式左边和右边都是正数，所以可以用作商比较法进行比较．反思：作商比较法的前提条件是两个数a，b都大于0，对进行整理，直到能清晰看出与1的大小关系为止．在运算过程中注意运用计算技巧．题型三比较法在综合题目中的应用【例3】已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n

7、＋5(n∈N＋)．(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f(x)在点x＝1处的导数f′(1)，并比较2f′(1)与23n2－13n的大小．分析：在比较大小时，作差法的差式与“n”的取值有关，且大小关系随“n”的变化而变化．反思：此类题是典型的结论不唯一的比较大小的问题．在数列中，大小问题可能会随“n”变化而变化．往往n＝1,2，…前几个自然数对应的值与后面n≥n0的值大小不一样，这就要求在解答这样的题时，要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头，即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论．答案：【例1】

8、　证明：∵(－)－(－)＝－＝＜0，∴－＜－.【例2】　证明：∵＝＋＝＋＝＝，又∵a2＋b2≥2ab，∴≥＝