高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法课堂导学案 新人教A版选修.doc

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1、2.1比较法课堂导学三点剖析一,作差法证明不等式【例1】(1)已知正数a,b,c成等比数列，求证:a2-b2+c2≥(a-b+c)2;(2)设a,b∈R,求证:a2+b2≥2(a-b-1).思路分析:证明不等式，通常可以看作是比较两式大小的问题.(1)证明:∵ac=b2,b>0,∴b=.∴a2-b2+c2-(a-b+c)2=a2-b2+c2-a2-b2-c2+2ab-2ac+2bc=2ab-2b2-2ac+2bc=2ab-4b2+2bc=2b(a-2b+c)=2b()2≥0.∴a2-b2+c2≥(a-b+c)2.(2)

2、证明:∵a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1).温馨提示作差法证明不等式的步骤:作差—变形—判定符号—结论.这里变形的目的是能判断出差式的符号.为此有分解因式和配方两种变形方式,但是,不是每个问题都可用此两种变形方式.能分解因式确定符号的,配方就不能;不能分解因式的,往往能配方确定符号.各个击破类题演练1已知a,b是正数且a≠b，试探讨能否确定a3+b3与a2b+ab2的大小？解析:a3+b3-(a2b+a

3、b2)=(a3-a2b)-(ab2-b3)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a+b)(a-b)2,∵a,b是正数，∴a+b>0.又∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴(a+b)(a-b)2>0.∴a3+b3>a2b+ab2.变式提升1a,b,c满足怎样的条件能使a2b+b2c+c2a

4、+c2)=(a-b)［a(b-c)-c(b-c)］=(a-b)(b-c)(a-c)<0,∴要使a2b+b2c+c2ab>c>0,求证:a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.思路分析:证明这种含有幂指数乘积形式的不等式，往往通过作商与1比较大小较为容易.证明:∵

5、a>b>c>0,∴ab+cbc+aca+b>0.作商=a2a-b-cb2b-c-ac2c-a-b=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=(.(*)∵a>b>c>0,∴a-b>0,a-c>0,b-c>0,且.∴(*)式大于1.从而a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.温馨提示一般地，应用求商比较时，要注意两式均为正，若两式均为负时，可用同样的方法比较其绝对值的大小,即>1且B<0Ab>0时,>1

6、,a-b>0,∴()a-b>1;②当01;③当a=b时,=1,a-b=0,()a-b=1.总之,aabb≥abba.变式提升2若a>b>0,求证:.证明:(作商法)∵三、不等式在实际问题中的应用【例3】甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点?思路分析:设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1、t

7、2.要回答题中的问题，只要比较t1、t2的大小就可以了，谁用时较少谁就先到达指定地点.解:设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2,依题意得=s,=t2,∴t1=,t2=,t1-t2==∵s、m、n都是正数，且m≠n,∴(m-n)2>0,(m+n)mn>0,即t1-t2<0.∴t1

8、.数学建模是解答实际应用题的关键.解实际应用问题的困难在于能否顺利地建模.建模的第一步设量是建模的关键.类题演练3有甲、乙两个粮食经销商，各自在同一处购了两次粮食(每次粮价不同).甲每次购粮mkg，乙每次购m元粮食.试问甲、乙两个粮食经销商的购粮平均价格哪一个更低？解析:设两次粮价分别为每千克a元和b元，甲两次购粮共花去(ma+m