高中数学集合的含义与表示 例题解析

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1、集合的含义与表示例题解析【例1】己知集合A＝｛x｜x＝m＋n，m，n∈Z｝，判断下列元素x与集合A的关系：（1）；（2）x＝A，A∈Z；（3）x＝x1＋x2（其中x1∈A，x2∈A）；（4）x＝x1x2（其中x1∈A，x2∈A）．　　　解析：判断某对象是否为某集合的元素，关键在于判断它们是否具备该集合元素公有的属性，本题中将x值试着写成m＋n的形式，若m，n是整数，便可完成判定，若无法表在成上式或m，n不为整数，则x不为集合中元素．　　（1）x＝，即m＝，n＝1，其中∈Z，∴　．　　（2）x＝A＝A＋0（A∈Z，0∈A），∴　A∈A；　　（3）∵　x1，x2∈A，设x1＝m1＋n

2、1，x2＝m2＋n2，（m1、m2、n1、n2∈Z），则x1＋x2＝（m1＋m2）＋（n1＋n2），由m1＋m2∈Z，n1＋n2∈Z，∵　x1＋x2∈A；　　（4）同理x1x2＝（m1＋n1）（m2＋n2）＝（m1m2＋2m1n2）＋（m1n2＋m2n1），由于m1m2＋2n1n2∈Z；m1n2＋m2n1∈Z，∴　x1x2∈A．　　点评：理解一个集合的意义重点在于抓住代表元素及公共属性，而判断元素与集合的关系，依据就是元素的公共属性，解题时需做必要的恒等变形．　　【例2】设x，y都是实数，观察下列四个集合：A＝｛y＝x＋1｝；B＝｛x｜y＝x＋1｝；C＝｛y｜y＝x＋1｝，D＝｛

3、（x，y）｜y＝x＋1｝．它们所表达的意义是否相同？　　解析：集合A采用列举法表示，是单元素集合，二元一次方程y＝x＋1则集合A中唯一元素．　　集合B代表元素是方程y＝x＋1中x的取值．由二元一次方程可知，集合B中元素x可取任意实数值，所以B＝R，属元限集合．　　集合C中代表元素y指满足方程y＝x＋1的取值，所以由方程知识可知C＝R，即B与C表示同一个集合．　　集合D中代表元素为有序数对（x，y），由此来看每一个元素均为方程y＝x＋1的一个解，故此集合D即为方程y＝x＋1的解集．另外将（x，y）理解为平面坐标系中一点的坐标，则每个元素即对应坐标平面内的一个点，所以集合D的几何意义

4、即表示直线y＝x＋1．　　从以上解析来看，A、B、C、D四个集合意义各不相同．　　点评：本题将集合的符号语言转化为文字语言，或者将集合语言转化成自然语言，经过语言转化有助于加深对集合理解，准确地理解元素的意义，作到准确、全面的转化．　　试解相关题：下面的问题你能解答吗？请试一试用列举法表示下列集合：　　（1）A＝｛x∈N｜∈N｝；　　（2）B＝｛y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N｝；　　（3）C＝｛（x，y）｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N｝　　思路：集合A中元素x，均为自然数．　　集合B中y值为涵数y＝－x2＋6的函数值的集合．　　集合C中元素为点，抛物线上横坐标、纵坐标均为自

5、然数的点．　　答案：A＝｛0，6，8｝；　　B＝｛1，3，9｝；　　C＝｛（0，3），（1，5），（2，2）｝．　　【例3】（1）方程组的解集用列举法表示为____________；用描述法表示为____________．　　（2）｛（x，y）｜x＋y＝6，x，y∈N｝用列举法表示为____________．　　解析：问题解决的关键主要是判断进而确定集合中元素是什么．　　（1）因的解集为方程组的解，　　解该方程组x＝，y＝－．　　则用列举法表示为｛（，－）｝，　　用描述法表示为（x，y）｜．　　（2）因x＋y＝6，x，y∈N的解有：　　　　故列举法表示该集合，就是｛（0，3），（

6、1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）（6，0）｝．　　【例4】用适当的方法表示　　（1）方程x2＋（－1）x－＝0有理数解的集合；　　（２）图中阴影部分的点（邻边界上的点）．　　解：（1）方程x2＋（－）x－＝0得x＝1或x＝－，　　∴　有理数解为x＝1．　　∴　集合用列举法表示为｛1｝．（2）（x，y）｜．试题相关题：在直角坐标平面内用阴影表示下面的点集：．　　答案：