高二数学导数及其应用知识精讲 苏教版

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1、高二数学导数及其应用知识精讲一.本周教学内容：导数及其应用二.重点、难点：教学重点：1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念．2.熟记基本导数公式：xm（m为有理数）、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3.理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰

2、函数）的最大值和最小值．教学难点：导数的定义和导数的几何意义的理解与运用，理解导数的工具性．三.主要知识点：1.知识网络2.方法分析有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明．本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式

3、和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的．3.方法总结（1）导数的概念实质是函数值相对于自变量的变化率，是变量的变化速度在数学上的一种抽象；（2）在导数的定义中“比值叫做函数在到之间的平均变化率”；（3）用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于定义法解决单调性问题是十分简捷的；（4）函数极值的确定，实际是建立在对函数单调性的认识基础上的；（5）在实际问题中，

4、若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较；（6）理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础；会对简单的初等函数进行求导是本章的重点；会求一些实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键．4.概念与公式（1）导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作．（2）导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为．（3）导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导

5、数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数．（4）可导：如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导．（5）求函数的导数的一般方法：①求函数的改变量．②求平均变化率．③令，得导数＝（6）常见函数的导数公式：；；；对数函数的导数：指数函数的导数：　（7）法则1　法则2，法则3（8）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f（x）为这个

6、区间内的减函数．（9）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）.②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间．（10）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点．极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0）.就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（

7、x0），x0是极小值点．（11）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值．（12）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）②求方程f′（x）＝0的根．③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如

8、果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．（13）函数的最大值和最小值：在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．①在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．②函数的最