高考数学一轮总复习 2.7 幂函数与函数的图象教案 理 新人教a版

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1、2.7　幂函数与函数的图象典例精析题型一　幂函数的图象与性质【例1】点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)问当x为何值时，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x).【解析】(1)设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2.设g(x)＝xb，因为点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，将(－2，)代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2.(2)在同

2、一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象，如图所示，由图象可知：①当x＞1或x＜－1时，g(x)＜f(x)；②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x).【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤：①设出幂函数的一般形式y＝xa(a为常数)；②根据已知条件求出a的值；③写出幂函数的解析式.本题的第(2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x2＝，即x4＝1，x＝±1，以x＝1，－1为分界点分x＞1，－1＜x＜1，x＜－1，x＝±1五种情况进行讨论，也能得到同样

3、的结果.【变式训练1】函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m.【解析】因为f(x)为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数；当m＝－1时，f(x)＝x0在(0，＋∞)上不是减函数.所以m＝2.题型二　作函数图象【例2】作下列函数图象：(1)y＝1＋log2x；(2)y＝2

4、x

5、－1；(3)y＝

6、x2－4

7、.【解析】(1)y＝1＋log2x的图象是：(2)y＝2

8、x

9、－1的图象是：(3)y＝

10、x2－4

11、的图象是：【变式训练2】在下列图象中，二次函数y＝ax2＋b

12、x与指数函数y＝()x的图象只可能是(　　)【解析】A.题型三　用数形结合思想解题【例3】已知f(x)＝

13、x2－4x＋3

14、.(1)求f(x)的单调区间；(2)求m的取值范围，使方程f(x)＝mx有4个不同实根.【解析】递增区间为[1,2]，[3，＋∞)；递减区间为(－∞，1)，(2,3).(2)设y＝mx与y＝f(x)有四个公共点，过原点的直线l与y＝f(x)有三个公共点，如图所示.令它的斜率为k，则0＜m＜k.由⇒x2＋(k－4)x＋3＝0.①令Δ＝(k－4)2－12＝0⇒k＝4±2.当k＝4＋2时，方程①的根x1＝x2＝－∉(1,3)，舍去；当k＝4－2时，方程

15、①的根x1＝x2＝∈(1,3)，符合题意.故0＜m＜4－2.【点拨】(1)作出f(x)的图象；(2)利用(1)的图象，研究函数y＝mx与y＝f(x)的交点情况.【变式训练3】若不等式x2－logax＜0对x∈(0，)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A.0＜a＜1B.≤a＜1C.a＞1D.0＜a≤【解析】原不等式为x2＜logax，设f(x)＝x2，g(x)＝logax，因为0＜x＜＜1，而logax＞x2＞0，所以0＜a＜1，作出f(x)在x∈(0，)内的图象，如图所示.因为f()＝，所以A(，)，当g(x)图象经过点A时，＝loga⇒a＝，因为当x∈(0，)时

16、，logax＞x2，g(x)图象按如图虚线位置变化，所以≤a＜1，故答案为B.题型四　有关图象的对称问题【例4】设函数f(x)＝x＋，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).(1)求函数y＝g(x)的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标.【解析】(1)设P(u，v)是y＝x＋上任意一点，所以v＝u＋.①设P关于A(2,1)对称的点为Q(x，y)，所以⇒代入①得2－y＝4－x＋⇒y＝x－2＋.所以g(x)＝x－2＋，其定义域为(－∞，4)∪(4，＋

17、∞).(2)联立方程得⇒x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0，所以Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0⇒b＝0或b＝4.所以，当b＝0时，交点为(3,0)；当b＝4时，交点为(5,4).【变式训练4】函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数.若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于(　　)A.－9B.9C.－3D.0【解析】因为f(－x)＝f(x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函数f(x)的一个周期，所以f(8.5)＝f(0.