2019-2020年高考数学一轮总复习 2.7 幂函数与函数的图象教案 理 新人教A版

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1、2019-2020年高考数学一轮总复习2.7幂函数与函数的图象教案理新人教A版典例精析题型一 幂函数的图象与性质【例1】点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)、g(x)的解析式;(2)问当x为何值时,有:①g(x)<f(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x).【解析】(1)设f(x)=xa,因为点(,2)在幂函数f(x)的图象上,将(,2)代入f(x)=xa中,得2=()a,解得a=2,即f(x)=x2.设g(x)=xb,因为点(-2,)在幂函数g(x)的图象

2、上,将(-2,)代入g(x)=xb中,得=(-2)b,解得b=-2,即g(x)=x-2.(2)在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象,如图所示,由图象可知:①当x>1或x<-1时,g(x)<f(x);②当x=±1时,f(x)=g(x);③当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤:①设出幂函数的一般形式y=xa(a为常数);②根据已知条件求出a的值;③写出幂函数的解析式.本题的第(2)问采用了数形结合的思想,即在同一坐标系下画出两函数的图象,借助图象求出不等式和方程的解.这一问也

3、可用分类讨论的思想.x2=,即x4=1,x=±1,以x=1,-1为分界点分x>1,-1<x<1,x<-1,x=±1五种情况进行讨论,也能得到同样的结果.【变式训练1】函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且当x∈(0,+∞)时是减函数,求实数m.【解析】因为f(x)为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数;当m=-1时,f(x)=x0在(0,+∞)上不是减函数.所以m=2.题型二 作函数图象【例2】作下列函数图象:(1)y=1+log2x;(2)y=2

4、

5、x

6、-1;(3)y=

7、x2-4

8、.【解析】(1)y=1+log2x的图象是:(2)y=2

9、x

10、-1的图象是:(3)y=

11、x2-4

12、的图象是:【变式训练2】在下列图象中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是(  )【解析】A.题型三 用数形结合思想解题【例3】已知f(x)=

13、x2-4x+3

14、.(1)求f(x)的单调区间;(2)求m的取值范围,使方程f(x)=mx有4个不同实根.【解析】递增区间为[1,2],[3,+∞);递减区间为(-∞,1),(2,3).(2)设y=mx与y=f(x)有四个公共点,过

15、原点的直线l与y=f(x)有三个公共点,如图所示.令它的斜率为k,则0<m<k.由⇒x2+(k-4)x+3=0.①令Δ=(k-4)2-12=0⇒k=4±2.当k=4+2时,方程①的根x1=x2=-∉(1,3),舍去;当k=4-2时,方程①的根x1=x2=∈(1,3),符合题意.故0<m<4-2.【点拨】(1)作出f(x)的图象;(2)利用(1)的图象,研究函数y=mx与y=f(x)的交点情况.【变式训练3】若不等式x2-logax<0对x∈(0,)恒成立,则实数a的取值范围是(  )A.0<a<1B.≤a<1C.a>1D

16、.0<a≤【解析】原不等式为x2<logax,设f(x)=x2,g(x)=logax,因为0<x<<1,而logax>x2>0,所以0<a<1,作出f(x)在x∈(0,)内的图象,如图所示.因为f()=,所以A(,),当g(x)图象经过点A时,=loga⇒a=,因为当x∈(0,)时,logax>x2,g(x)图象按如图虚线位置变化,所以≤a<1,故答案为B.题型四 有关图象的对称问题【例4】设函数f(x)=x+,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)的图象为C1,C1关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x).

17、(1)求函数y=g(x)的解析式,并确定其定义域;(2)若直线y=b与C2只有一个交点,求b的值,并求出交点的坐标.【解析】(1)设P(u,v)是y=x+上任意一点,所以v=u+.①设P关于A(2,1)对称的点为Q(x,y),所以⇒代入①得2-y=4-x+⇒y=x-2+.所以g(x)=x-2+,其定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).(2)联立方程得⇒x2-(b+6)x+4b+9=0,所以Δ=(b+6)2-4×(4b+9)=b2-4b=0⇒b=0或b=4.所以,当b=0时,交点为(3,0);当b=4时,交点为(5,4).【

18、变式训练4】函数f(x)的定义域为R,且满足:f(x)是偶函数,f(x-1)是奇函数.若f(0.5)=9,则f(8.5)等于(  )A.-9B.9C.-3D.0【解析】因为f(-x)=f(x),f(-x-1)=-f(x-1),所以f(-2+x)=-f(-x)=-f(x),则f(4+x)=-f(x+2)=f(x),即4

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