2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案新人教a版必修4

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1、3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一　二倍角公式的推导思考1　二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案　sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαs

2、inα＝cos2α－sin2α；tan2α＝tan(α＋α)＝.思考2　根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？答案　cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.知识点二　二倍角公式的变形1.公式的逆用2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α.2.二倍角公式的重要变形——升幂公

3、式和降幂公式升幂公式1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.降幂公式cos2α＝，sin2α＝.类型一　给角求值例1　求下列各式的值：(1)cos72°cos36°；(2)－cos215°；(3)；(4)－.解　(1)cos36°cos72°＝＝＝＝.(2)－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－.(3)＝2·＝2·＝－2.(4)－＝＝＝＝＝4.反思与感悟　对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三

4、角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1　求下列各式的值：(1)coscoscos；(2)＋.解　(1)原式＝＝＝＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝＝4.类型二　给值求值例2　(1)若sinα－cosα＝，则sin2α＝.答案　解析　(sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α＝2⇒sin2α＝1－2＝.(

5、2)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于(　　)A.B.C.1D.答案　A解析　cos2α＋2sin2α＝＝.把tanα＝代入，得cos2α＋2sin2α＝＝＝.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sinα＋cosα＝，求sin2α.解　由题意，得(sinα＋cosα)2＝，∴1＋2sinαcosα＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.反思与感悟　(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设

6、条件代入结论.(2)一个重要结论：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.跟踪训练2　已知tanα＝2.(1)求tan的值；(2)求的值.解　(1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝1.类型三　利用倍角公式化简例3　化简.解　方法一　原式＝＝＝＝＝1.方法二　原式＝＝＝＝＝1.反思与感悟　(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角.②降幂或升幂.③一个

7、重要结论：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.跟踪训练3　化简下列各式：(1)＜α＜，则＝；(2)α为第三象限角，则－＝.答案　(1)sinα－cosα　(2)0解析　(1)∵α∈(，)，∴sinα＞cosα，∴＝＝＝＝sinα－cosα.(2)∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，∴－＝－＝－＝0.1.sincos的值等于(　　)A.B.C.D.答案　B解析　原式＝sin＝.2.sin4－cos4等于(　　)A.－B.－C.D.答案　B解析　原式＝·＝－＝－cos＝－.3.＝.答案　1－解析　＝·＝tan15°＝1

8、－.4.设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是.答案　解析　∵sin2α＝－sinα，∴sinα(2cosα＋1)＝0，又α∈，∴sinα≠0，2cosα＋1＝0即cosα＝－，sinα＝，tanα＝－，∴tan2α＝＝＝