2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教a版必修4

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1、3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点)[基础·初探]教材整理　二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材P132～P133例5以上内容，完成下列问题.1.二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝2.余弦的二倍角公式的变形3.正弦的二倍角公式的变形(1)sinαcosα＝sin2α，cosα＝.(2)

2、1±sin2α＝(sinα±cosα)2.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　)(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立.(　　)(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立.(　　)【解析】　(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，故此说法错误.(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα.(3)×.当cosα＝时，cos2α＝2cosα.【答案】　(1)×　(2)√　(3)×2.已知cosα＝，则c

3、os2α等于________.【解析】　由cosα＝，得cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.【答案】　－[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式　化简求值.(1)cos4－sin4；(2)sin·cos·cos；(3)1－2sin2750°；(4)tan150°＋.【精彩点拨】　灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.【自主解答】　(1)cos4－sin4＝＝cosα.(2)原式＝·cos＝sin·cos＝＝sin＝.∴原式＝.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.∴原式＝.(4)原式＝

4、＝＝＝＝＝－＝－.∴原式＝－.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有：2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α，cosα＝，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α.(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝.[再练一题]1.求下列各式的值：(1)sincos；(2)；(3)－；(4)cos2

5、0°cos40°cos80°.【解】　(1)原式＝＝＝.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.(3)原式＝＝＝＝＝4.(4)原式＝＝＝＝＝.利用二倍角公式解决求值问题　(1)已知sinα＝3cosα，那么tan2α的值为(　　)A.2　　　　　　　B.－2C.D.－(2)已知sin＝，则cos的值等于(　　)A.B.C.－D.－(3)已知cosα＝－，sinβ＝，α是第三象限角，β∈.①求sin2α的值；②求cos(2α＋β)的值.【精彩点拨】　(1)可先求tanα，再求tan2α；(2)可利用π－2α＝2及－α

6、＝－求值；(3)可先求sin2α，cos2α，cosβ，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β).【自主解答】　(1)因为sinα＝3cosα，所以tanα＝3，所以tan2α＝＝＝－.(2)因为cos＝sin＝sin＝，所以cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.【答案】　(1)D　(2)C(3)①因为α是第三象限角，cosα＝－，所以sinα＝－＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝.②因为β∈，sinβ＝，所以cosβ＝－＝－，cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝×－×＝－.直接应用二

7、倍角公式求值的三种类型(1)sinα(或cosα)cosα(或sinα)sin2α(或cos2α).(2)sinα(或cosα)cos2α＝1－2sin2α(或2cos2α－1).(3)sinα(或cosα)[再练一题]2.(1)已知α∈，sinα＝，则sin2α＝______，cos2α＝________，tan2α＝________.(2)已知sinsin＝，且α∈，求tan4α的值.【导学号：70512043】【解析】　(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝