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《2018版高中数学第四章函数应用4.1.1利用函数性质判定方程解的存在学案北师大版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1．1 利用函数性质判定方程解的存在1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)2.掌握函数零点存在的判定方法．(重点)3.能结合图像求解零点问题．(难点)[基础·初探]教材整理 函数零点及判定定理阅读教材P116～P117整节的内容，完成下列问题．函数的零点及判定定理(1)函数的零点：①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系．(2)函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反
2、，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点．( )(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点．( )(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.函数y＝x－的零点是________．【解析】 令y＝x－＝＝0，解得x＝±1.【答
3、案】 ±1[小组合作型]求函数的零点 求下列函数的零点：(1)y＝－x2－x＋20；(2)f(x)＝x4－1.【精彩点拨】 先因式分解，再确定函数的零点．【尝试解答】 (1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)＝－(x＋5)(x－4)，方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4.故函数的零点是－5,4.(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.求函数的零点常用方法是解方程：(1)一元二次方程可用求根公式求解；(2)高次方程可用因式分解法求根.[再练一题
4、]1.判断下列说法是否正确：(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(0,2)；(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.【解】 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错．(2)虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.判断零点所在的区间 (1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)1510－76－4－5则函数f(x)在区间[1
5、,6]上的零点至少有( )A．2个 B．3个C．4个D．5个(2)函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )A．(1,2)B．(2,3)C.和(3,4)D．(e，＋∞)【精彩点拨】 在区间(a，b)上检验f(a)，f(b)是否满足函数零点存在性定理．【解析】 (1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0，f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)<0，故函数f(x)在(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别存在零点，故至少有3个零点．(2)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝
6、ln2－1＜0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．【答案】 (1)B (2)B1.确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．2.有时需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性．[再练一题]2.函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )【导学号：04100072】A.B.C.D.【解析】 f·f＝＝＜0.【答案】 C零点个数的判断 判断下列
7、函数零点个数：(1)y＝ex＋2x－6；(2)y＝log2x－x＋2.【精彩点拨】 借助函数的单调性和图像解答．【尝试解答】 (1)∵y1＝ex在R上单调递增，y2＝2x－6在R上单调递增，∴y＝ex＋2x－6在R上单调递增．又f(0)＝1＋0－6＝－5＜0，f(3)＝e3＋6－6＝e3＞0.∴y＝f(x)在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一个零点．(2)函数对应的方程为log2x－x＋2＝0.即求函数y＝log2x与y＝x－2图像交点个数．在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知有2个交点．从而函数y＝log2x－x＋2有两
8、个零点．判断函数零点个数的方法主要有：(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断.(2)用定理：零点存在性定理.(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(
