高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式课堂探究学案新人教a版选修4

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1、4.2用数学归纳法证明不等式课堂探究1．观察、归纳、猜想、证明的方法剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．教材例1中若只观察前3项：a1

2、＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2；a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，从而归纳出n2＞2n(n∈N＋，n≥3)是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k＋1”的方法与技巧剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k＋1”的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因

3、为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k＋1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．题型一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系【例1】已知f(x)＝.对于n∈N＋，试比较f()与的大小并说明理由．分析：先通过n取比较小的值进行归纳猜想，确定证明方向，再用数学归纳法证明．解：据题意f(x)＝＝＝1－，∴f()＝1－，又＝1－，∴要比较f()与的大小，只需比较2n与n

4、2的大小即可，当n＝1时，21＝2＞12＝1，当n＝2时，22＝4＝22，当n＝3时，23＝8＜32＝9，当n＝4时，24＝16＝42，当n＝5时，25＝32＞52＝25，当n＝6时，26＝64＞62＝36.故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2n＞n2，下面用数学归纳法加以证明．(1)当n＝5时，2n＞n2显然成立．(2)假设n＝k(k≥5，且k∈N＋)时，不等式2n＞n2成立，即2k＞k2(k≥5)，则当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1

5、)2(因为(k－1)2＞2)．由(1)(2)可知，对一切n≥5，n∈N＋，2n＞n2成立．综上所述，当n＝1或n≥5时，f()＞.当n＝2或n＝4时，f()＝，当n＝3时，f()＜.反思利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向．再用数学归纳法证明结论成立.题型二数学归纳法在解决有关数列问题中的应用【例2】已知数列{an}满足：a1＝，且an＝(n≥2，n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：对一切正整数n，不等式a1a2…an＜2n！恒成立．分析：(1)由

6、题设条件知，可用构造新数列的方法求得an；(2)可以等价变形，视为证明新的不等式．(1)解：将条件变为：1－＝，因此数列{1－}为一个等比数列，其首项为1－＝，公比为，从而1－＝，因此得an＝(n≥1)．①(2)证明：由①得，a1a2…an＝.为证a1a2…an＜2n！，只要证n∈N＋时，有××…×＞.②显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对n∈N＋，有××…×≥1－.③下面用数学归纳法证明③式：①当n＝1时，显然③式成立，②假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，③式成立，即××…×≥1－，则当n＝k＋1时，×…×≥＝1

7、－－＋·≥1－.即当n＝k＋1时，③式也成立．故对一切n∈N＋，③式都成立．利用③，得×…≥1－＝1－＝1－＝＋n＞.故原不等式成立．反思本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，“要证明……”，“只需证明……”，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的.题型三用数学归纳法证明不等式【例3】设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小

8、，并加以证明．分析：这类问题，一般都是先取Pn，Qn的前几项进行观察，以寻求规律，作出猜想，再证明猜想的正确性．解：P1＝1＋x＝Q1，P2＝1＋2x＋x2＝Q2，P3＝1＋3x＋3x2＋x3，Q3＝1＋3x＋3x2，P3－Q3＝x3，由此推测，Pn与Qn的大小要由x的符号来决定．(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.(2)当n≥3时(以下再对x进