高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式预习导航学案新人教选修.docx

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1、4.2用数学归纳法证明不等式预习导航1．通过教材掌握几个有关正整数n的结论．2．会用数学归纳法证明不等式．1．本节的有关结论(1)n2＜2n(n∈N＋，n≥5)．(2)

2、sinnθ

3、≤n

4、sin_θ

5、(n∈N＋)．(3)贝努利不等式：如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n＞1＋nx.贝努利不等式更一般的形式：当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)，当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)．(4)如果n(n为正整数)个正数a1，a2

6、，…an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥n.【做一做1】用数学归纳法证明C＋C＋…＋C＞(n≥n0且n∈N＋)，则n的最小值为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4解析：当n＝1时，左边＝C＝1，右边＝10＝1,1＞1不成立；当n＝2时，左边＝C＋C＝2＋1＝3，右边＝＝，3＞，成立．当n＝3时，左边＝C＋C＋C＝3＋3＋1＝7，右边＝31＝3,7＞3，成立．答案：B2．用数学归纳法证明不等式使用数学归纳法证明不等式，难点往往出现在由n＝k时命题成立推出n＝k＋1时命题成立这一步．为完

7、成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题的其他条件及相关知识．【做一做2】用数学归纳法证明式子“1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：当n＝k时，不等式1＋＋＋＋…＋＜k成立；当n＝k＋1时，不等式的左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，比较n＝k时的不等式左边，可知左边增加了2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k(项)．答案：C