2016高考数学大一轮复习 3.1导数的概念及运算教师用书 理 苏教版

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§3.1　导数的概念及运算1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__0__f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝ f(x)＝lnxf′(x)＝　　5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．6．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　×　)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　×　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　√　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)(5)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(　×　)(6)函数y＝的导数是y′＝.(　×　)1．设函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)，若f(3)＝3f′(x0)，则x0＝________.答案　±解析　由已知得f′(x)＝ax2＋b.又f(3)＝3f′(x0)，则有9a＋3b＝3ax＋3b，所以x＝3，则x0＝±.2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________． 答案　④解析　由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除①③.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，由图知②不符合，④符合，故④正确．3．(2014·广东)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________________．答案　5x＋y＋2＝0解析　因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．答案　解析　∵y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A(，)，∴三角形的面积S＝×1×＝.题型一　利用定义求函数的导数例1　用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数．解　方法一　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1) ＝x2＋2x·Δx＋Δx2－2x－2Δx－1－x2＋2x＋1＝(2x－2)Δx＋Δx2，所以＝＝[(2x－2)＋Δx]＝2x－2.所以函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数为f′(x)|x＝1＝2×1－2＝0.方法二　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1－1)＝1＋2Δx＋Δx2－2－2Δx－1＋2＝Δx2，所以＝＝Δx＝0.故f′(x)|x＝1＝0.思维升华　(1)求函数f(x)的导数步骤：①求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；②计算平均变化率＝；③计算导数f′(x)＝.(2)利用定义法求解f′(a)，可以先求出函数的导数f′(x)，然后令x＝a即可求解，也可直接利用定义求解．　(1)函数y＝x＋在[x，x＋Δx]上的平均变化率＝________；该函数在x＝1处的导数是______________________________________________．(2)已知f(x)＝，则f′(1)＝________.答案　(1)1－　0　(2)－解析　(1)∵Δy＝(x＋Δx)＋－x－＝Δx＋－＝Δx＋.∴＝1－.y′|x＝1＝＝0.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝＝ ＝，∴＝－，∴＝＝－.∴f′(1)＝－.题型二　导数的运算例2　求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝x；(3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5)．解　(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·＝ex(lnx＋)．(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(3)y＝sin2(2x＋)＝－cos(4x＋π)，故设y＝－cosu，u＝4x＋π，则yx′＝yu′·ux′＝sinu·4＝2sinu＝2sin(4x＋π)．(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，因此y′＝·(2x＋5)′＝. 思维升华　(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导．　(1)f(x)＝x(2015＋lnx)，若f′(x0)＝2016，则x0＝________.(2)若函数r(V)＝，则r′()值等于________．(3)若f(x)＝＋e2x，则f′(x)＝________.答案　(1)1　(2)1　(3)－＋2e2x解析　(1)f′(x)＝2015＋lnx＋x×＝2016＋lnx，故由f′(x0)＝2016得2016＋lnx0＝2016，则lnx0＝0，解得x0＝1.(2)r′(V)＝·，r′()＝1.(3)f′(x)＝··(3－x)′＋e2x·(2x)′＝－＋2e2x.题型三　导数的几何意义例3　设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是　解得故f(x)＝x－.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.思维升华　导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．　(1)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．(2)已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________．答案　(1)－3　(2)9解析　(1)y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3.(2)先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上有y0＝x－3x0，①求导数得到切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，又切线l过A、M两点，所以k＝， 则3x－3＝，②联立①②可解得x0＝－2，y0＝－2，从而实数a的值为a＝k＝＝9.混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误典例：若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a＝________.易错分析　没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误．解析　因为y＝x3，所以y′＝3x2，设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k＝3x，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝.当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.答案　－1或－温馨提醒　1.对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．方法与技巧1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．失误与防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A组　专项基础训练(时间：45分钟)1．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，曲线在点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是________．答案　[0，)∪[π，π)解析　∵y′＝3x2－，又∵k＝f′(x)＝3x2－，∴k≥－.结合正切函数图象可知：0≤α<或≤α<π.2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝________.答案　－1解析　由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋.∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.3．(2014·大纲全国改编)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．答案　2解析　y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2. 4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是________．答案　2x－y－1＝0解析　对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k＝2x0.由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.5．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为________．答案　解析　求导得y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为×(1－)×1＝.6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________.答案　6解析　对f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，得f′(x)＝6x＋2f′(2)．令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2×(－12)＝6.7.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是__________．答案　x－y－2＝0解析　根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.8．已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________．答案　y＝x＋解析　f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，由已知得解得a＝，x＝e2. ∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，∴切线的方程为y－e＝(x－e2)，即y＝x＋.9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解　∵y′＝2ax＋b，∴抛物线在点Q(2，－1)处的切线斜率为k＝y′|x＝2＝4a＋b.∴4a＋b＝1.①又∵点P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③解方程组，得∴实数a、b、c的值分别为3、－11、9.10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.11．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)即y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．B组　专项能力提升(时间：20分钟)1．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为________．答案　解析　由f(x)＝excosx，得f′(x)＝excosx－exsinx．所以f′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1，即倾斜角α满足tanα＝1.根据α∈[0，π)，得α＝.2．若函数f(x)＝cosx＋2xf′()，则f(－)与f()的大小关系是________．答案　f(－)0， ∴f(x)＝cosx＋x是(－，)上的增函数，又－<－<<，∴f(－)0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值．并判断两条切线是否为同一条直线．解　根据题意有曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a. 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，得y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以两条切线不是同一条直线．