2014版高考数学一轮复习 3.1 导数的概念及其运算 理 苏教版

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3.1导数的概念及其运算一、填空题1．若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)．解析　f′(x)＝excosx－exsinx，因为函数图象在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝e(cos1－sin1)＜0，所以切线的倾斜角是钝角．答案　钝角2．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(an，a)处的切线与x轴交点的横坐标为an＋1，n∈N*，若a1＝16，则a3＋a5＝________，数列{an}的通项公式为________．解析　k＝f′(an)＝2an，切线方程为y－a＝2an(x－an)，令y＝0，得－a＝2an(an＋1－an)，即＝.所以{an}是首项为16，公比为的等比数列，所以an＝16·n－1＝25－n，a3＋a5＝5.答案　5　25－n3．曲线y＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程是________．解析　y′＝3x2－2，k＝3－2＝1，所以切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.答案　x－y－2＝04.若满足f′(1)=2,则f′(-1)等于_______．解析求导后导函数为奇函数,所以选择B.答案-25．点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．解析　设P(t，t2－lnt)，由y′＝2x－，得k＝2t－＝1(t＞0)，解得t＝1.所以过点P(1,1)的切线方程为y＝x，它与y＝x－2的距离d＝＝即为所求．答案　6．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为________．解析　y′＝(x3)′＝3x2，k＝3，由题意，3×＝－1，所以＝－.答案　－ 7．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为________．解析　由y＝xn－xn＋1，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，k＝n·2n－1－(n＋1)·2n＝－(n＋2)·2n－1，切线方程为y＋2n＝－(n＋2)·2n－1(x－2)，所以＝2n,2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2.答案　2n＋1－28．若直线y＝kx－3与曲线y＝2lnx相切，则实数k＝________.解析设直线与曲线相切于点P(x0，y0)，由题意得：解得y0＝－1，x0＝，k＝2.答案29．已知函数f(x)＝xex，则f′(x)＝______；函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．解析　f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，∴f′(0)＝1，f(0)＝0，故函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.答案　(x＋1)ex　x－y＝010．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析　k＝f′(2)＝1，切线方程为y＝x－2.答案　x－y－2＝011．等比数列中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝__________.解析　函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212＝4096.答案　409612．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导函数为f′(x)，且f′(0)＞0，对于任意实数x有f(x)≥0，则的最小值为________．解析　f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＞0， 又所以ac≥，所以c＞0，所以＝≥≥＝2.答案　213．已知直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．解析　如图，可求得直线y＝x与y＝x2＋1(x＞0)的图象相切时恰有两个不同的公共点，当m＞时，直线y＝mx与y＝f(x)的图象恰有三个不同的公共点．答案　(，＋∞)二、解答题14．曲线y＝x2＋1上过点P的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．解析方法一：设P(x0，y0)，由题意知曲线y＝x2＋1在P点的切线斜率为k＝2x0，切线方程为y＝2x0x＋1－x，而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x2＋2x0x＋2－x＝0的判别式Δ＝4x－2×4×(2－x)＝0，解得x0＝±，y0＝.∴P点的坐标为或.方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)分别为切线与曲线y＝x2＋1和y＝－2x2－1的切点．则∴＝2x1＝－4x2，∴消去x1，得x2＝±，则x1＝±，则P点的坐标为或.15．已知函数y＝f(x)＝.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)的最大值． 解析　(1)因为f′(x)＝，所以k＝f′＝2e2.又f＝－e，所以y＝f(x)在x＝处的切线方程为y＋e＝2e2，即2e2x－y－3e＝0.(2)令f′(x)＝0，得x＝e.因为当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，所以f(x)max＝f(e)＝.16．已知：在函数的图象上，f(x)＝mx3－x以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m，n的值；(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－2013对于x∈[－1,3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．解析　(1)依题意，得f′(1)＝tan，即3m－1＝1，m＝.因为f(1)＝n，所以n＝－.(2)令f′(x)＝2x2－1＝0，得x＝±.当－1＜x＜－时，f′(x)＝2x2－1＞0；当－＜x＜时，f′(x)＝2x2－1＜0；当＜x＜3时，f′(x)＝2x2－1＞0.又f(－1)＝，f＝，f＝－，f(3)＝15，因此，当x∈[－1,3]时，－≤f(x)≤15.要使得不等式f(x)≤k－2013对于x∈[－1,3]恒成立，则k≥15＋2013＝2028. 所以，存在最小的正整数k＝2028，使得不等式f(x)≤k－2013对于x∈[－1,3]恒成立．17.对于三次函数定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的导数,若f″(x)=0有实数解则称点为函数y=f(x)的”拐点”.现已知请解答下列问题:(1)求函数f(x)的”拐点”A的坐标;(2)求证f(x)的图象关于”拐点”A对称.解析(1)f′″(x)=6x-6.令f″(x)=6x-6=0,得x=1,2.∴拐点A坐标为(1,-2).(2)证明:设是y=f(x)图象上任意一点,则因为关于A(1,-2)的对称点为P′把P′代入y=f(x)得左边右边=2=.∴左边=右边.∴P′在y=f(x)图象上.∴y=f(x)的图象关于点A对称.18．已知函数f(x)＝x3＋2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C，试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．解析　设存在过切点A(x1，y1)的切线与曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2，y2)(x2≠x1)，则切线方程为y－＝(x＋4x1＋3)(x－x1)，即为y＝(x＋4x1＋3)x－.同理，过点B(x2，y2)的切线方程是y＝(x＋4x2＋3)x－.由于两切线是同一切线，所以有即 又x1≠x2，所以解得x1＝x2＝－2，这与x1≠x2矛盾，所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．